Miten ratkaista x + 2 = e ^ (x)?

Vastaus:

Käytä Newtonin menetelmää

#x = 1.146193 # ja #x = -1.84141 #

Selitys:

Yhtälöä ei voi ratkaista algebrallisilla menetelmillä. Tämäntyyppisen yhtälön osalta käytän numeerista analyysitekniikkaa nimeltä Newton's Method.

Tässä on viittaus Newtonin menetelmään

Päästää #f (x) = e ^ x - x - 2 = 0 #

#f '(x) = e ^ x - 1 #

Aloitat arvailusta # X_0 # ja tee sitten seuraava laskenta lähemmäksi ratkaisua:

#x_ (n + 1) = x_n - f (x_n) / (f '(x_n)) #

Teet laskennan, syötät jokaisen vaiheen takaisin yhtälöön, kunnes saamasi numero ei muutu edellisestä numerosta.

Koska Newtonin menetelmä on laskennallisesti intensiivinen, käytän Excel-laskentataulukkoa.

Avaa Excel-laskentataulukko

Syötä soluun A1 arvaus # X_0 #. Syöttin 1 soluun A1.

Syötä soluun A2 seuraava lauseke:

= A1 - (EXP (A1) - A1 - 2) / (EXP (A1) - 1)

Kopioi solun A2 sisältö leikepöydälle ja liitä se sitten soluun A3 - A10.

Näet, että numero muuttuu nopeasti #x = 1.146193 #

Edit: Kun olet lukenut erittäin mukavan kommentin Shelliltä. Päätin löytää toisen juuren muuttamalla solun A1 arvoa 1: stä -1: een. Laskentataulukko muuttuu nopeasti arvoon #x = -1.84141 #

Vastaus:

Tätä kysymystä ei voida ratkaista algebrallisesti. Kuvaaja antaa # X = -1,841 # ja # X = 1,146 #.

Selitys:

Yhtälön vasen puoli # X + 2 # on algebrallinen.

Yhtälön oikea puoli # E ^ x # on transsendenttinen (sitä ei voi ilmaista polynomina, esim. eksponentteina, lokitina, trig-funktioina).

Tätä yhtälöä ei voida ratkaista algebrallisesti, mutta se voidaan ratkaista graafisesti.

Ratkaise molemmat #COLOR (punainen) (y = x + 2) # ja #COLOR (sininen) (y = e ^ x) # kuvaaja-apuohjelmassa tai graafisessa laskimessa. Ratkaisut ovat # X # risteysten koordinaatit.