Miten muuntaa r = 7 / (5-5costheta) suorakulmaiseen muotoon?

Vastaus:

Se on sivuttain parabola # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Selitys:

Tämä on mielenkiintoinen, koska se vain erottuu; nimittäjän vähimmäismäärä on nolla. Se on kartiomainen osa; Juuri eroavainen mielestäni tekee siitä parabolan. Sillä ei ole paljon merkitystä, mutta se kertoo meille, että voimme saada mukavan algebrallisen muodon ilman liipaisutoimintoja tai neliönjuuria.

Paras lähestymistapa on sorta taaksepäin; käytämme polaarisia suorakulmaisiin korvikkeisiin, kun tuntuu, että toinen tapa olisi suorempi.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Niin # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Me näemme #R> 0. # Aloitamme puhdistamalla murto-osa.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Meillä on #r cos theta # niin se on # X. #

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Ensimmäinen havainto oli #r> 0 # niin neliö on OK.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Nyt korvaamme uudelleen.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Olemme teknisesti vastanneet kysymykseen tässä vaiheessa ja voisimme lopettaa täällä. Mutta on vielä algebraa, ja toivottavasti palkinto lopussa: ehkä voimme osoittaa, että tämä on itse asiassa parabola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

kaavio {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17.35, 50, -30, 30}

Kyllä, se on parabola, pyöritetty # 90 ^ circ #tavallisesta suunnasta.

Tarkista: Alpha eyball