Mikä on matriisin span? + Esimerkki

Vastaus:

Katso alempaa

Selitys:

Joukko vektoreita ulottuu avaruuteen, jos jokainen muu avaruudessa oleva vektori voidaan kirjoittaa lineaariseksi yhdistelmäksi. Mutta tämän tarkoituksen saavuttamiseksi meidän täytyy tarkastella matriisia, jotka on tehty sarakevektoreista.

Tässä on esimerkki #mathcal R ^ 2 #:

Anna meidän matriisi #M = ((1,2), (3,5)) #

Tässä on sarakevektorit: #((1),(3))# ja #((2),(5))#, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia, joten matriisi on ei-yksikkö tms.

Sanotaan, että haluamme osoittaa, että yleinen piste # (X, y) # on näiden kahden vektorin sisällä, eli niin, että matriisi kattaa kaikki #mathcal R ^ 2 #, sitten haluamme ratkaista tämän:

#alpha ((1), (3)) + beeta ((2), (5)) = ((x), (y)) #

Tai:

# ((1,2), (3,5)) ((alfa), (beta)) = ((x), (y)) #

Voit ratkaista tämän, mikä tahansa määrä tapoja, esim. Rivin pienentäminen tai kääntäminen M ….. saadaksesi:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y #

Sanotaan siis, että haluamme tarkistaa sen #(2,3)# on tämän matriisin alueella, M, käytämme juuri saamamme tulosta:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

Varmistaa:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Harkitse seuraavaa eri matriisia: #M '= ((1,2), (2,4)) #. Tämä on yksikkö koska sen sarakevektorit, #((1),(2))# ja #((2),(4))#, ovat lineaarisesti riippuvaisia. Tämä matriisi ulottuu vain suuntaan #((1),(2))#.