X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 on yksi root x = sqrt (2) + sqrt (3). Mitkä ovat kolme muuta juuria ja miksi?

Vastaus:

Muut kolme juuria ovat #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # ja #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Miksi, kerro minulle tarina …

Selitys:

Herra Rational asuu Algebran kaupungissa.

Hän tietää kaikki lomakkeen numerot # M / n # missä # M # ja # N # ovat kokonaislukuja ja #n! = 0 #.

Hän on melko tyytyväinen ratkaisemaan polynomeja # 3x + 8 = 0 # ja # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, mutta monia on palapeli häntä.

Jopa ilmeisen yksinkertainen polynomi # X ^ 2-2 = 0 # tuntuu insoluable.

Hänen rikas naapuri, herra Real, on sääliä hänelle. "Tarvitset sitä, mitä kutsutaan neliöjuureksi #2#. Täällä mennä. "Näillä sanoilla herra Real luovuttaa salaperäisen kiiltävän sinisen numeron, jota kutsutaan # R_2 # Rationalille. Hänelle kerrotaan vain tästä numerosta # R_2 ^ 2 = 2 #.

Herra Rational palaa tutkimukseensa ja on leikkiä tämän salaperäisen kanssa # R_2 #.

Hetken kuluttua hän huomaa, että hän voi lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa lomakkeen numeroita # a + b R_2 # missä # A # ja # B # ovat järkeviä ja päädytään samaan muotoon. Hän huomaa myös sen # X ^ 2-2 = 0 # on toinen ratkaisu, nimittäin # -R_2 #.

Hän pystyy nyt ratkaisemaan ei vain # X ^ 2-2 = 0 #, mutta # X ^ 2 + 2x-1 = 0 # ja monet muut.

Monet muut polynomit eivät välttämättä ratkaise ratkaisua. Esimerkiksi, # X ^ 2-3 = 0 #, mutta herra Real antaa hänelle mielellään kiiltävän vihreän numeron # R_3 # joka ratkaisee sen.

Rational toteaa pian, että hän voi ilmaista kaikki numerot, joita hän voi tehdä # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, missä # A #, # B #, # C # ja # D # ovat järkeviä.

Eräänä päivänä Rationalilla on ratkaisu # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Hän löytää sen # X = R_2 + R_3 # on ratkaisu.

Ennen kuin hän etsii lisää ratkaisuja, hän törmää naapuriinsa, herra Realiin. Hän kiittää herraa Realia lahjasta # R_2 # ja # R_3 #, mutta kysyy niistä. "Unohdin kysyä:", hän sanoo: "Ovatko he positiivisia tai negatiivisia?". "En uskonut, että välität.", Sanoi Real. "Niin kauan kuin olet ratkaissut polynomeja rationaalisilla kertoimilla, se ei todellakaan ole väliä. Säännöt, joita olet löytänyt lisäämällä, vähentämällä, kertomalla ja jakamalla uudet numerot toimivat joko yhtä hyvin. Itse asiassa mielestäni sinä olet olla nimeltään # R_2 # se, mitä useimmat ihmiset kutsuvat # -Sqrt (2) # ja sinä, jota soitit # R_3 # se, mitä useimmat ihmiset kutsuvat #sqrt (3) #'.

Joten herra Rationalin uudet numerot # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # ei ole väliä, onko # R_2 # ja tai # R_3 # ovat positiivisia tai negatiivisia polynomien ratkaisemiseksi rationaalisilla kertoimilla.