Miten ratkaista eriarvoisuus 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Miten ratkaista eriarvoisuus 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?
Anonim

Vastaus:

#x <- 5/2 väri (valkoinen) (xx) # tai #color (valkoinen) (xx) -1 <x <2 #

Selitys:

Ensinnäkin huomaa, että eriarvoisuus määritellään vain, jos nimittäjät eivät ole nollaa:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Seuraava askel olisi nyt "päästä eroon" fraktioista. Tämä voidaan tehdä, jos kertomalla epätasa-arvon molemmat puolet # X + 1 # ja # X-2 #.

Sinun täytyy kuitenkin olla varovainen, koska jos moninkertaistatte epätasa-arvon negatiivisella numerolla, sinun täytyy kääntää eriarvoisuusmerkki.

=========================================

Tarkastellaan eri tapauksia:

tapaus 1: #color (valkoinen) (xxx) x> 2 #:

molemmat #x + 1> 0 # ja #x - 2> 0 # pidä. Näin saat:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… laskea # -3x # ja #+2# molemmin puolin…

# -2x> 5 #

… jaettuna #-2# molemmin puolin. Kuten #-2# on negatiivinen luku, sinun täytyy kääntää eriarvoisuusmerkki …

#x <- 5/2 #

Ei kuitenkaan ole # X # joka täyttää molemmat edellytykset #x> 2 # ja #x <- 5/2 #. Näin ollen tässä tapauksessa ei ole ratkaisua.

=========================================

tapaus 2: #color (valkoinen) (xxx) -1 <x <2 #:

Tässä, #x + 1> 0 # mutta #x - 2 <0 #. Siksi sinun täytyy kääntää eriarvoisuusmerkki kerran ja saat:

#color (valkoinen) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (valkoinen) (x) -2x <5 #

… jaettuna #-2# ja käännä eriarvoisuusmerkki uudelleen …

#color (valkoinen) (xxx) x> -5 / 2 #

Epätasa-arvo #x> -5 / 2 # on totta kaikille # X # välissä # -1 <x <2 #. Tässä tapauksessa meillä on siis ratkaisu # -1 <x <2 #.

=========================================

tapaus 3: #color (valkoinen) (xxx) x <-1 #:

Tässä molemmat nimittäjät ovat negatiivisia. Jos siis moninkertaistetaan eriarvoisuus molempien kanssa, sinun täytyy kääntää eriarvoisuusmerkki kahdesti ja saat:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (valkoinen) (i) -2x> 5 #

#color (valkoinen) (xxi) x <- 5/2 #

Koska ehto #x <-5 / 2 # on tiukempi kuin ehto #x <-1 #, ratkaisu tähän tapaukseen on #x <- 5/2 #.

=========================================

Yhteensä ratkaisu on

#x <- 5/2 väri (valkoinen) (xx) # tai #color (valkoinen) (xx) -1 <x <2 #

tai jos haluat toisen merkinnän,

#x kohdassa (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Vastaus:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Selitys:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

päästäkää eroon erottamattomasti eriarvoisuuden vasemmalle puolelle # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Nyt meidän täytyy laittaa kaikki epäoikeudenmukaisuus samaksi nimittäjäksi. Osa, jossa (x + 1) kerrotaan # (X-2) / (x-2) # (mikä on 1!) ja päinvastoin:

# (X-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Teimme sen tempun, että kaikki epäyhtenäisyys on sama nimittäjä:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (X + 1) (x-2) # vastaa parabolia, joka antaa positiivisia arvoja inetervaalissa # -oo, -1 uu 2, + oo # ja negatiiviset arvot aikavälillä #-1, 2#. Määritä, että x ei voi olla -1 tai 2, koska nimittäjä on nolla.

Ensimmäisessä tapauksessa (nimittäjä positiivinen) voimme yksinkertaistaa epäyhtenäisyyttä seuraavasti:

# -2x-5> 0 # ja #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

joka antaa:

#x <-5/2 # ja #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

Aikavälien sieppaus yllä #x <-5/2 #.

Toisessa tapauksessa nimittäjä on negatiivinen, joten positiivista lukua tuottavan tuloksen on oltava negatiivinen:

# -2x-5 <0 # ja # x in -1, 2 #

joka antaa

#x> -5/2 #. ja # x in -1, 2 #

Välien sieppaus antaa # x in -1, 2 #

Yhdistymme näiden kahden tapauksen ratkaisuihin:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #