Ratkaise x²-3 <3. Tämä näyttää yksinkertaiselta, mutta en voinut saada oikeaa vastausta. Vastaus on (- 5, -1) U (1, 5). Miten ratkaista tämä eriarvoisuus?

Vastaus:

Ratkaisu on, että eriarvoisuus on #abs (x ^ 2-3) <väri (punainen) (2) #

Selitys:

Kuten tavallista absoluuttiset arvot, jaotellaan tapauksiin:

Tapaus 1: # x ^ 2 - 3 <0 #

Jos # x ^ 2 - 3 <0 # sitten #abs (x ^ 2-3) = - (x ^ 2-3) = -x ^ 2 + 3 #

ja (korjattu) eriarvoisuus tulee:

# -x ^ 2 + 3 <2 #

Lisätä # X ^ 2-2 # molemmille puolille # 1 <x ^ 2 #

Niin #x kohdassa (-oo, -1) uu (1, oo) #

Meillä on tapaus

# x ^ 2 <3 #, niin #x (-sqrt (3), sqrt (3)) #

Siten:

#x kohdassa (-sqrt (3), sqrt (3)) nn ((-oo, -1) uu (1, oo)) #

# = (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) #

Tapaus 2: # x ^ 2 - 3> = 0 #

Jos # x ^ 2 - 3> = 0 # sitten #abs (x ^ 2-3) = x ^ 2 + 3 # ja (korjattu) eriarvoisuus tulee:

# x ^ 2-3 <2 #

Lisätä #3# molemmille osapuolille

# x ^ 2 <5 #, niin #x in (-sqrt (5), sqrt (5)) #

Meillä on tapaus

# x ^ 2> = 3 #, niin #x in (-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo) #

Siten:

#x in ((-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo)) nn (-sqrt (5), sqrt (5)) #

# = (-sqrt (5), -sqrt (3) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

Yhdistetty:

Kotelon 1 ja 2 yhdistäminen yhdessä:

#x in (-sqrt (5), -sqrt (3) uu (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

# = (- sqrt (5), -1) uu (1, sqrt (5)) #