Mikä on normaalin kahdeksankulmion kehä, jonka säde on 20?

Vastaus:

Se riippuu:

Jos sisäinen säde on #20#, sitten kehä on:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Jos ulkosäde on #20#, sitten kehä on:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

Selitys:

Tässä punainen ympyrä ympäröi ulkosädettä ja vihreä ympyrä sisempi.

Päästää # R # olla ulompi säde - se on punaisen ympyrän säde.

Sitten kahdeksankulmion pisteet keskittyivät #(0, 0)# ovat:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Yhden sivun pituus on etäisyys # (r, 0) # ja # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2 + (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2 sqrt (2)) #

Näin ollen koko kehä on:

#color (punainen) (8r sqrt (2 sqrt (2)))

Joten jos ulkosäde on #20#, sitten kehä on:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2 sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#väri valkoinen)()#

Sisäinen säde on # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Niin #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Sitten koko kehä on

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2 sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2 sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2 sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2 sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Väri (vihreä) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Joten jos sisäinen säde on #20#, sitten kehä on:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#väri valkoinen)()#

Kuinka hyvä arvio on # Pi # anna tämä meille?

Vaikka olemme täällä, mitä lähentymistä # Pi # saammeko keskiarvoistamalla sisä- ja ulkosäteet?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… joten ei suuri.

Saadaksesi mahdollisimman hyvän likiarvon #355/113 ~~ 3.1415929#, kiinalainen matemaatikko Zu Chongzhi käytti a #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) sivutettu monikulmio ja laskentatangot.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi