Mikä on nopein ja helpoin tapa ratkaista kuutio- ja kvartaaliset yhtälöt (ilman polynomilaskinta)?

Vastaus:

Se riippuu…

Selitys:

Jos kuutiometrillä tai kvartsilla (tai missä tahansa asteessa polynomia) on rationaalisia juuria, rationaalinen juuriteoreemi voi olla nopein tapa löytää ne.

Descartesin merkkisääntö voi myös auttaa tunnistamaan, onko polynomin yhtälöllä positiivisia tai negatiivisia juuria, joten auta kaventamaan hakua.

Kuutiomaisen yhtälön kohdalla voi olla hyödyllistä arvioida syrjintää:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Jos #Delta = 0 # sitten kuutiolla on toistuva juuri.

• Jos #Delta <0 # sitten kuutiolla on yksi todellinen juuristo ja kaksi ei-todellista monimutkaista juuria.

• Jos #Delta> 0 # sitten kuutiolla on kolme todellista juuria.

Jos #Delta = 0 # sitten kuutio jakaa tekijän sen johdannaisen kanssa, joten sinun pitäisi pystyä löytämään yhteinen tekijä laskemalla polynomin GCF.

Muuten on todennäköisesti hyödyllistä käyttää Tschirnhaus-muunnosta a masentunut kuutio ennen kuin jatkat.

Jos kuutiolla on yksi todellinen juuri ja kaksi ei-todellista, suosittelen Cardanon menetelmää.

Jos siinä on kolme todellista juuria, suosittelen sen sijaan käyttämään trigonometristä korvausta.

Quarticsille voit saada depressiivisen kvartsin, jolla ei ole kuutioaikaa #t = x + b / (4a) #.

Jos tuloksena olevalla kvartsilla ei myöskään ole lineaarista termiä, niin se on neliö # X ^ 2 #. Voit joko ratkaista sen neliökilometrinä ja ottaa neliöjuuren tai käyttää lomakkeen faktorointia:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Tästä löydät ratkaistavat neliökertoimet.

Jos tuloksena olevalla kvartsilla on lineaarinen termi, se voidaan ottaa huomioon muodossa:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Yhdistetään kertoimet ja käytetään # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, voit saada kuutiometrin # ^ 2 #. Näin löydät mahdolliset arvot # A #, # B # ja # C #. Etsi sitten nollat neliökertoimista.

On muitakin erityistapauksia, mutta se kattaa sen karkeasti.