U_1, u_2, u_3, ... ovat Geometrinen eteneminen (GP). Sarjan termien yleinen suhde on K.Now määrittää sarjan u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) K: n ja u_1: n muodossa?

Vastaus:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Selitys:

Geometrisen etenemisen yleinen termi voidaan kirjoittaa:

#a_k = a r ^ (k-1) #

missä # A # on alkuvaihe ja # R # yhteinen suhde.

Summa # N # termit on annettu kaavalla:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#väri valkoinen)()#

Kun kysymyksessä annetut tiedot, yleinen kaava # U_k # voidaan kirjoittaa:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Ota huomioon, että:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Niin:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = summa_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (valkoinen) (summa_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = summa_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (valkoinen) (summa_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = summa_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # missä # A = U_1 ^ 2K # ja #r = K ^ 2 #

#color (valkoinen) (summa_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (valkoinen) (summa_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #