Miten käytät binomi-sarjaa laajentaaksesi sqrt (z ^ 2-1)?

Vastaus:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Selitys:

Haluaisin melko tarkistaa, koska fysiikan opiskelijana olen harvoin # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # pienille x, joten olen hieman ruosteinen. Binominen sarja on erikoistunut tapaus binomiteoreemasta, joka sanoo

# (1 + x) ^ n = summa_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Kanssa # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Mitä meillä on # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #, tämä ei ole oikea muoto. Korjaa tämä muistamalla # i ^ 2 = -1 # joten meillä on:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Tämä on nyt oikeassa muodossa #x = -z ^ 2 #

Siksi laajennus on:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #