Miten ratkaista tämä yhtälö?

Vastaus:

# "Katso selitys" #

Selitys:

# "Ensimmäinen rationaalinen juuriteoreema on ensin löydettävä järkevien juurien löytämiseksi." #

# "Löysimme" x = 1 "rationaaliseksi juureksi." #

# "So" (x-1) "on tekijä. Jaamme kyseisen tekijän pois:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Meillä on jäljellä oleva kuutioyhtälö, jolla ei ole järkeviä juuria." #

# "Voimme ratkaista sen sijaintimenetelmällä." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Korvaava" x = y + 2/9 ". Sitten saamme" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Korvaava" y = (sqrt (22) / 9) z ". Sitten saamme" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Korvaava" z = t + 1 / t ". Sitten saamme" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Korvaaminen" u = t ^ 3 ", tuottaa neliöyhtälön:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Tämän neliöyhtälön juuret ovat u = 5.73717252." #

# "Muuttujien korvaaminen takaisin, tuotot:" #

#t = juuri (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2,34879043.

#y = 1.22408929.

#x = 1.44631151.

# "Muut juuret ovat monimutkaisia:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Ne löytyvät jakamalla" (x-1.44631151)) #

Vastaus:

Rationaalinen todellinen nolla on # X = 1 #.

Sitten on irrationaalinen todellinen nolla:

# x_1 = 1/9 (2 + juuri (3) (305 + 27sqrt (113)) + juuri (3) (305-27sqrt (113))) #

ja niihin liittyvät ei-todelliset monimutkaiset nollat.

Selitys:

Ottaen huomioon:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Huomaa, että kertoimien summa on #0#.

Tuo on: #3-5+2 = 0#

Näin voimme päätellä # X = 1 # on nolla ja # (X-1) # tekijä:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (valkoinen) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Jäljellä oleva kuutiometri on hieman monimutkaisempi …

Ottaen huomioon:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhaus-muunnos

Jotta saataisiin tehtäväksi ratkaista kuutiomainen yksinkertaisempi, teemme kuutiometrin yksinkertaisemman käyttämällä lineaarista korvausta, joka tunnetaan Tschirnhaus-muunnoksena.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = T ^ 3-66t-610 #

missä # T = (9x-2) #

Cardanon menetelmä

Haluamme ratkaista:

# T ^ 3-66t-610 = 0 #

Päästää # T = u + v #.

Sitten:

# U ^ 3 + v ^ 3 + 3 (UV-22) (u + v) -610 = 0 #

Lisää rajoitus # V = 22 / u # poistaa # (U + v) # ja saat:

# U ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Kerro läpi # U ^ 3 # ja järjestä hieman, jotta saat:

# (U ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Käytä seuraavaa:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Koska tämä on todellinen ja derivaatio on symmetrinen # U # ja # V #, voimme käyttää yhtä näistä juurista # U ^ 3 # ja toinen # V ^ 3 # löytää Real root:

# T_1 = juuri (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

ja niihin liittyvät monimutkaiset juuret:

# t_2 = omegajuuri (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 juuria (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omegajuuri (3) (305-27sqrt (113)) #

missä # Omega = -1/2 + sqrt (3) / 2i # on alkukantainen monimutkainen kuutiojuuri #1#.

Nyt # X = 1/9 (2 + t) #. Niinpä alkuperäisen kuutiomme juuret ovat:

# x_1 = 1/9 (2 + juuri (3) (305 + 27sqrt (113)) + juuri (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omegajuuri (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 juuria (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 juuria (3) (305 + 27sqrt (113)) + omegajuuri (3) (305-27sqrt (113))) #