Näytä, että jos p, q, r, s ovat reaalilukuja ja pr = 2 (q + s), niin ainakin yksi yhtälöistä x ^ 2 + px + q = 0 ja x ^ 2 + rx + s = 0 on todelliset juuret?

Vastaus:

Katso alla.

Syrjivä # X ^ 2 + px + q = 0 # on # Delta_1 = p ^ 2-4q #

ja # X ^ 2 + rx + s = 0 # on # Delta_2 = r ^ 2-4s #

ja # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # P ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (S + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (S + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

ja jos # Pr = 2 (q + s) #, meillä on # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Kummankin syrjinnän summa on positiivinen, ainakin yksi niistä olisi positiivinen

ja siten ainakin yksi yhtälöistä # X ^ 2 + px + q = 0 # ja # X ^ 2 + rx + s = 0 # on todellisia juuria.