Meillä on: {1,2,3} -> {1,2} ja g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Kuinka monta injektio-f ja g -voittoa on?

Vastaus:

# F # ei voi olla injektiivinen.

# G # voi olla ruiskeena #24# tavoilla.

Selitys:

Toiminto on injektio, jos kahdella tulolla ei ole samaa lähtöä. Toisin sanoen jotain

#f (x) = f (y), qu x x y y #

ei voi tapahtua.

Tämä tarkoittaa, että äärellisen toimialueen ja kodomainin tapauksessa funktio voi olla injektoiva, ja vain, jos verkkotunnus on pienempi kuin kodomainin (tai enintään yhtä suuri) kardinaalisuuden suhteen.

Tämän vuoksi # F # ei koskaan voi olla injektio. Itse asiassa voit korjata #F (1) # niinkuin haluat. Sanoa #f (1) = 1 #, esimerkiksi. Valittaessa #F (2) #, emme voi sanoa uudelleen #f (2) = 1 #, tai # F # ei olisi injektoivaa. Mutta kun on kyse #F (3) # meillä ei ole muuta vaihtoehtoa, jos sanomme #f (3) = 1 # meillä on #f (1) = f (3) #, ja jos sanomme #f (3) = 2 # meillä on #f (2) = f (3) #.

Toisin sanoen meidän on määriteltävä yksi kahdesta mahdollisesta tulosta kullekin kolmesta tulosta. Tulisi olla selvää, että tulot eivät pysty tarjoamaan erilaisia ulostuloja.

Toisaalta # G # voi olla injektiokykyinen, koska siellä on "tarpeeksi tilaa": kukin kolmesta tulosta voi valita yhden neljästä lähdöstä siten, että mikään eri tulo ei anna samaa ulostuloa.

Mutta kuinka monella tavalla? Oletetaan, että aloitamme uudelleen #F (1) #. Voimme valita minkä tahansa näistä syötteistä, jotta voimme valita #F (1) # neljällä tavalla.

Kun se tulee #F (2) #, menettää jonkin verran vapautta: voimme antaa mitään arvoa #F (2) #, lukuun ottamatta sitä, jonka olemme määrittäneet #F (1) #, joten meillä on kaksi vaihtoehtoa. Esimerkiksi jos vahvistimme #f (1) = 2 #sitten #F (2) # voi olla joko #1#, #3# tai #4#.

Samalla logiikalla meillä on kaksi vaihtoehtoa #F (3) #: neljästä mahdollisesta vaihtoehdosta suljetaan pois ne, jotka on jo osoitettu #F (1) # ja #F (3) #.

Joten voimme määritellä # G # sisään #4*3*2 = 24# tavalla # G # on injektio.