Miten ratkaista integraatiolla?

Vastaus:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Alue" = 117/4 #

Selitys:

Q on linjan x-sieppaus # 2x + y = 15 #

Jos haluat löytää tämän kohdan, anna # Y = 0 #

# 2x = 15 #

# X = 15/2 #

Niin # Q = (15 / 2,0) #

P on kuuntelupiste käyrän ja linjan välillä.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# osaksi #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# X ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

# X = -5 # tai # X = 3 #

Kaaviosta P: n x-koordinaatti on positiivinen, joten voimme hylätä # X = -5 #

# X = 3 #

# Y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

kaavio {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Nyt alueelle

Löydät tämän alueen kokonaispinta-alan löytääkseen kaksi aluetta ja lisäämällä ne yhteen.

Nämä ovat aluetta # Y = x ^ 2 # 0: sta 3: een, ja rivin alla oleva alue 3 - 15/2.

# "Alue käyrän alla" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Voimme kehittää linjan alueen integraation kautta, mutta sen on helpompi käsitellä sitä kolmiona.

# "Alue rivin alla" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "Varjostetun alueen kokonaispinta-ala" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Vastaus:

3 & 4: lle

Tom on tehnyt 10

Selitys:

3

# int_0 ^ 5 f (x) x = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) x #

#:. int_1 ^ 5 f (x) x = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) x #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Vastaus:

Katso alempaa:

Varoitus: Pitkä vastaus!

Selitys:

(3):

Kiinteistön käyttäminen:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Siten:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

(4):

(sama asia)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# X = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Meidän on kuitenkin vaihdettava integraalin rajat, joten:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Niin:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

10 (a):

Meillä on kaksi toimintoa, jotka leikkaavat # P #, niin # P #:

# X ^ 2 = -2x + 15 #

(Käänsin rivitoiminnon rinteeseen-sieppausmuodoksi)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

Niin # X = 3 # kuten me oikealla # Y # akseli #X> 0 #.

(syöttämällä # X = 3 # toimiin)

# Y = -2x + 15 #

# Y = -2 (3) + 15 #

# Y = 15-6 = 9 #

Joten koordinaatti # P # on #(3,9)#

varten # Q #, linja # Y = -2x + 15 # leikkaa # Y #-xis # Y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# X = (15/2) = 7,5 #

Niin # Q # sijaitsee osoitteessa #(7.5, 0)#

10 (b).

Rakennan kaksi integraalia, jotta löydän alueen. Ratkaisen integraalit erikseen.

Alue on:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Ratkaise ensimmäinen integraali)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(korvaa rajat yhdennettyyn lausekkeeseen, muista:

Ylempi alaraja löytää integraalin arvo

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(ratkaise toinen integraali)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(korvaavat rajat: Ylempi alempi)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #