Mitkä ovat f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x: n absoluuttinen ääriarvo kohdassa [0, pi / 4]?

Mitkä ovat f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x: n absoluuttinen ääriarvo kohdassa [0, pi / 4]?
Anonim

Vastaus:

absoluuttinen max: (pi / 4, pi / 4) (π4,π4)

absoluuttinen min: (0, 0)(0,0)

Selitys:

Ottaen huomioon: f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x kohdassa 0, pi / 4 f(x)=2xsin2x+xcos2xkohdassa0,π4

Etsi ensimmäinen johdannainen käyttämällä tuotesääntöä kahdesti.

Tuotesääntö: (uv) '= uv' + v u '

Päästää u = 2x; "" u '= 2

Päästää v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x

f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + …

Yhtälön toiselle puolelle:

Päästää u = x; "" u '= 1

Päästää v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x)

f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1)

Yksinkertaistaa:

f '(x) = peruuta (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x peruutus (-2x sin (2x)) + cos (2x)

f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x)

f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x

f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x

Pythagorilainen identiteetti sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1

Tämä tarkoittaa, että kriittisiä arvoja ei ole, kun f '(x) = 0

Absoluuttinen maksimi ja minimiarvot löytyvät toimintavälin päätepisteistä.

Testaa funktion päätepisteet:

f (0) = 0; "Absoluuttinen minimi:" (0, 0)

f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4)

f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2)

f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0

f (pi / 4) = pi / 4; "Absoluuttinen maksimi:" (pi / 4, pi / 4)