X (P (x) Q (x)) PxP (x) QxQ (x) x (P (x) Q (x)) PxP (x) QxQ (x ). Auttakaa minua ensimmäisen lausuman kanssa?

Näiden lausuntojen ymmärtämiseksi meidän on ensin ymmärrettävä käytetty merkintä.

• # AA # - kaikille - Tämä symboli viittaa siihen, että jokin on olemassa jokaisen esimerkin sisällä. Joten kun lisäät muuttujan # X #, # AAX # tarkoittaa, että jokin lausunto koskee kaikkia mahdollisia arvoja tai kohteita, joita voisimme korvata # X #.

• #P (x), Q (x) # - ehdotus - Nämä ovat loogisia ehdotuksia # X #eli ne edustavat lausuntoja # X # jotka ovat joko totta tai vääriä tietylle # X #.

• # # - ja - Tämä symboli mahdollistaa useiden ehdotusten yhdistämisen. Yhdistetty tulos on totta, kun molemmat ehdotukset palaavat totta ja väärät muuten.

• # # - tai - Tämä symboli mahdollistaa myös useiden ehdotusten yhdistämisen. Yhdistetty tulos on väärä, kun molemmat ehdotukset palaavat vääriä ja toisin.

• # # - jos ja vain jos - Tämä symboli mahdollistaa myös useiden ehdotusten yhdistämisen. Yhdistetty tulos on totta, kun molemmat ehdotukset palauttavat saman totuuden arvon kaikille # X #ja väärin muuten.

Tämän avulla voimme nyt kääntää lausunnot. Ensimmäinen lausunto, joka on suoraan muotoiltu, kuulostaisi: "Kaikille x: lle, P: lle x: lle ja Q: lle x: stä ja vain, jos kaikki x: n, P: n x: n ja kaikkien x: n, x: n x: n."

Jotkut pienet lisäykset ja muutokset tekevät siitä hieman ymmärrettävämmän.

"Kaikille x: lle P ja Q ovat totta, jos x ja vain, jos P on totta kaikille x: lle ja Q on totta kaikille x: lle."

Tämä lausunto on tautologia, eli se on totta riippumatta siitä, mitä me korvaa P: lle tai Q: lle. Voimme osoittaa tämän osoittamalla, että ehdotus ennen to: ta merkitsee sitä sen jälkeen, ja päinvastoin.

Ennen aikaisempaa lausuntoa meillä on tämä jokaiselle # X #, #P (x) Q (x) # on totta. Yllä olevan määritelmän mukaan tämä tarkoittaa sitä, että jokaiselle # X #, #P (x) # on totta ja #Q (x) # on totta. Tämä merkitsee sitä, että jokaiselle # X #, #P (x) # on totta ja mitä tahansa # X #, #Q (x) # on totta, mikä on: n jälkeen ilmestyvä ilmoitus.

Jos aloitamme: n jälkeen ilmestyvästä lausunnosta, tiedämme sen millä tahansa # X #, #P (x) # on totta ja mitä tahansa # X #, #Q (x) # on totta. Sitten kaikki # X #, #P (x) # ja #Q (x) # ovat molemmat totta, merkitys kaikille # X #, #P (x) Q (x) # on totta. Tämä osoittaa, että ensimmäinen lausunto on aina totta.

Toinen lausunto on väärä. Menemättä läpi koko prosessia kuten edellä, voimme vain osoittaa, että kahdella: n kummallakin puolella olevilla ehdotuksilla ei aina ole samaa totuusarvoa. Oletetaan esimerkiksi, että puolet kaikista mahdollisista # X #, #P (x) # on totta ja #Q (x) # on väärä, ja toiselle puolelle #Q (x) # on totta ja #P (x) # on väärä.

Tässä tapauksessa, kuten kaikki # X #, jompikumpi #P (x) # tai #Q (x) # on totta, ehdotus #AAx (P (x) Q (x)) # on totta (katso kuvaukset yllä). Mutta koska on arvoja # X # mille #P (x) # on väärä, ehdotus #AAxP (x) # on väärä. Samalla lailla, #AAxQ (x) # on myös väärä, merkitys #AAxP (x) AAxQ (x) # on väärä.

Koska kahdella ehdotuksella on erilaisia totuusarvoja, yhden totuuden totuus ei takaa toisen totuutta, ja siten niiden liittäminen: een johtaa uuteen ehdotukseen, joka on väärä.