Kuinka tarkistaa Cos2x / (1 + sin2x) = tan (pi / 4-x)?

Vastaus:

Katso a Todiste vuonna Selitys.

Selitys:

# (Cos2x) / (1 + sin2x) #, # = (Cos ^ 2x-sin ^ 2x) / {(cos ^ 2x + sin ^ 2x) + 2sinxcosx} #, # = {(Cosx + sinx) (cosx-sinx)} / (cosx + sinx) ^ 2 #, # = (Cosx-sinx) / (cosx + sinx) #, # = {Cosx (1-sinx / cosx)} / {cosx (1 + sinx / cosx)} #,

# = (1-tanx) / (1 + tanx) #, # = {tan (pi / 4) -tanx} / {1 + tan (pi / 4) * tanx} quad # koska #tan (pi / 4) = 1 #, # = Tan (pi / 4-x) #, kuten haluttu!

Ensin muistutamme itseämme #cos (2x) = cos (x + x) = cos ^ 2x - sin ^ 2x ja #sin (2x) = 2 sin x cos x #. Lähdetään nyt toiselta puolelta.

#tan (pi / 4-x) = {tan (pi / 4) - tan x} / {1 + tan (pi / 4) tan x} #

# = {1 - sin x / cos x} / {1 + sin x / cos x} #

# = {cos x - sin x} / {cos x + sin x} #

Me tiedämme #cos 2x = cos ^ 2x - sin ^ 2 x # joten siirrymme on:

# = {cos x - sin x} / {cos x + sin x} cdot {cos x + sin x} / {cos x + sin x} #

# = {cos ^ 2 x - sin ^ 2 x} / {cos ^ 2x + 2 cos x sin x + sin ^ 2 x} #

# = {cos (2x)} / {1 + sin (2x)} quad sqrt #