Mikä on lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) x: n lähestyessä 1 oikealta puolelta?

# 1 / E #

# X ^ (1 / (1-x)) #:

kuvaaja {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Tämä olisi paljon helpompaa, jos ottaisimme yksinkertaisesti # Ln # molemmin puolin. Siitä asti kun # X ^ (1 / (1-x)) # on jatkuvassa avoimessa aikavälissä oikealla puolella #1#, voimme sanoa, että:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x)))

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Siitä asti kun #ln (1) = 0 # ja #(1 - 1) = 0#, tämä on lomakkeesta #0/0# ja L'Hopitalin sääntöä sovelletaan:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

Ja tietenkin, # 1 / x # on jatkuva molemmilta puolilta #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Tämän seurauksena alkuperäinen raja on:

#color (sininen) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = väri (sininen) (1 / e) #