Mikä on minimiarvo g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? välissä [-2,2]?

Vastaus:

Vähimmäisarvo on # x = 1-sqrt 5 n. "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) n. "-" 0,405 #.

Selitys:

Suljettu väli on, että mahdolliset vähimmäispaikat ovat:

• paikallisen vähimmäisarvon välein, tai
• aikavälin päätepisteet.

Siksi laskemme ja vertaamme arvoja #G (x) # milloin tahansa #x kohdassa "-2", 2 # se tekee #G '(x) = 0 #, sekä osoitteessa #X = "- 2" # ja # X = 2 #.

Ensinnäkin: mikä on #G '(x) #? Käyttämällä osamäärää, saamme:

#G '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (valkoinen) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (valkoinen) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Tämä on nolla, kun lukija on nolla. Kvadraattisen kaavan mukaan

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 noin {"-1.236", 3.236} #

Vain yksi näistä # X #-arvot ovat #'-2',2#, ja se on # x = 1-sqrt 5 #.

Nyt laskemme:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (valkoinen) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * väri (sininen) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5))

#color (valkoinen) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (valkoinen) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) noin "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Näiden kolmen arvon vertailu #G (x) #, näemme sen #g (1-sqrt 5) # on pienin. Niin # - (1+ sqrt 5) / 8 # on meidän vähimmäisarvomme #G (x) # päällä #'-'2, 2#.