Runko löydettiin klo 10.00 varastosta, jossa lämpötila oli 40 ° F. Lääkäri katsoi kehon lämpötilan olevan 80 ° F. Mikä oli arvioitu kuoleman aika?

Vastaus:

Arvioitu kuoleman aika on #8:02:24# olen.

Tärkeää on huomata, että tämä on kehon ihon lämpötila. Lääkäri tutkii sisäistä lämpötilaa, joka laskisi paljon hitaammin.

Selitys:

Newtonin jäähdytyslaissa todetaan, että lämpötilan muutosnopeus on verrannollinen ympäristön lämpötilaan. eli

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Jos #T> T_0 # sen jälkeen kehon tulisi jäähtyä, jotta johdannaisen pitäisi olla negatiivinen, joten asetamme suhteellisuusvakion ja saavutamme

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Kerrostetaan ja siirretään asiat, jotka liittyvät meihin:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Voidaan nyt käyttää integroivaa tekijämenetelmää ODE-ratkaisujen ratkaisemiseksi.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Kerro molemmat puolet #I (x) # saada

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Huomaa, että käyttämällä tuotesääntöä voimme kirjoittaa LHS: n uudelleen ja jättää:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integroi molemmat puolet wrt # T #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Jaettuna # E ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Keskimääräinen ihmisen kehon lämpötila on # 98.6 ° "F" #.

# tarkoittaa T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

# on C = 58,6 #

Päästää # T_f # aika, jolloin keho löytyy.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58,6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1,96 h #

Joten kuolemasta lähtien olettaen, että keho alkoi heti jäähtyä, se kesti 1,96 tuntia 80 ° F: n saavuttamiseksi.

# 1.96h = 117,6min #

Arvioitu kuoleman aika on #8:02:24# olen