1 / (1 + x ^ 3) dx: n integrointi?

Vastaus:

# 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Selitys:

Aloita kirjoittamalla nimittäjä:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Nyt voimme tehdä osittaisia jakeita:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x +1) #

Voimme löytää # A # käyttäen peitto-menetelmää:

# A = 1 / ((teksti (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Seuraavaksi voimme moninkertaistaa molemmat puolet LHS-nimittäjällä:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

Tämä antaa seuraavat yhtälöt:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

Tämä tarkoittaa sitä, että voimme kirjoittaa alkuperäisen integraalin:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) x #

Ensimmäinen integraali voidaan tehdä käyttämällä nimenomaista u-korvausta, mutta on melko selvää, että vastaus on #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) x) #

Voimme jakaa jäljellä olevan integraalin kahteen:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) x = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) x) #

Syynä huijaukseen, kun kerrotaan ja jaetaan #2# on tehdä vasemman nimittäjän helpompi käyttää u-substituutiota.

Soitan vasemman integroidun Integral 1: n ja oikean integraali 2: n

Integral 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) x #

Koska olemme jo valmistelleet tämän korvaavan kokonaisuuden, meidän tarvitsee vain korvata se # U = x ^ 2-x + 1 #ja johdannainen on # 2x-1 #, joten jaamme sen integroitumaan suhteessa # U #:

#int peruuta (2x-1) / (peruuta (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integral 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) x #

Haluamme saada tämän integraalin muotoon:

#int 1 / (1 + t ^ 2) tt = tan ^ -1 (t) + C #

Tätä varten meidän on täytettävä nimittäjän neliö:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) x #

Haluamme ottaa käyttöön u-korvauksen siten, että:

# (X-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# X-puoli = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Kerrotaan johdannaisella suhteessa # U # integroida suhteessa # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Alkuperäisen integraalin viimeistely

Nyt kun tiedämme vastauksen Integral 1: ään ja Integral 2: een, voimme liittää ne takaisin alkuperäiseen lausekkeeseen saadaksemme lopullisen vastauksen:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Vastaus:

# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Selitys:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1/3 s dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Mikä on 1 / x: n integrointi?

Int 1 / x dx = ln abs x + C Syy riippuu siitä, mitä määritelmää olet käyttänyt. Mieluummin: Määritelmä: lnx = int_1 ^ x 1 / t dt x> 0: lle Laskennan perusperiaatteella saadaan: d / (dx) (lnx) = 1 / x x: lle> Tästä ja ketjusäännöstä , saamme myös d / (dx) (ln (-x)) = 1 / x x <0: lle Välillä, joka ei sisällä 0: ta, 1 / x: n antivivaattori on lnx, jos väli koostuu positiivisista numeroista ja se on ln (-x), jos väli koostuu negatiivisista numeroista. ln abs x kattaa molemmat tapaukset.

Miksi integrointi löytää alueen käyrän alle?

Katsokaamme alla olevan määritellyn integraalin määritelmää. Määritelty integraali int_a ^ b f (x) dx = lim_ {n - infty} sum_ {i = 1} ^ n f (a + iDelta x) Delta x, jossa Delta x = {b-a} / n. Jos f (x) ge0, siis määritelmä on olennaisesti suorakulmioiden lähentämisalueiden summa, joten suunnitellulla tavalla kiinteä integraali edustaa alueen aluetta f (x): n kaavion alapuolella x- akselilla.

Osoita, että cos ^ 4 x sin² x dx = 1/16 [x - (sin4x) / 4 + (sin ^ 3 2x) / 3] + c: n integrointi?

= 1/16 (x-sin (4x) / 4 + sin ^ 3 (2x) / 3) int (cos ^ 4 (x) sin ^ 2 (x)) dx = int ((1 + cos (2x)) / 2) ^ 2 ((1-cos (2x)) / 2) dx Käyttämällä kaavaa cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 sin ^ 2 (2x) = (1-cos (2x )) / 2 int ((1 + cos (2x)) / 2) ^ 2 ((1-cos (2x)) / 2) dx = int ((1 + cos ^ 2 (2x) + 2cos (2x)) (1-cos (2x))) / 8dx = int ((1 + cos ^ 2 (2x) + 2cos (2x) -cos (2 x) -c ^ ^ (2x) -2cos ^ 2 (2x)) / 8 ) dx int (1 + cos (2x) -cos ^ 2 (2x) -c ^ ^ (2x)) / 8 dx 1/8 (int (dx) + int cos (2x) dx-int (cos ^ 2 (2x ) dx-int (cos ^ 3 (dx) int cos ^ 2 (2x) dx = int (1 + cos (4x)) / 2dx = x / 2 + sin (4x) / 8 intcos ^