Mitä hauskaa, hyödyllistä, matemaattista tosiasiaa tiedätte, että sitä ei yleensä opeteta koulussa?

Vastaus:

Miten arvioida "eksponenttien tornit", kuten #2^(2^(2^2))#, ja miten viimeinen numero saadaan # 2 ^ n, # # NinNN #.

Selitys:

Jotta voisimme arvioida näitä "torneja", aloitamme ylhäältä ja työskentelemme tien päällä.

Niin:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Samanlaisella, mutta hieman epäsuhtaisella huomautuksella tiedän myös, miten voidaan määrittää viimeiset numerot #2# nostetaan mihin tahansa luonnolliseen eksponenttiin. Viimeinen numero #2# korotetaan aina aina aina neljän arvon välillä: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Joten jos haluat löytää viimeisen numeron # 2 ^ n #, etsi mikä paikka on syklissä, ja tiedät sen viimeisen numeron.

Vastaus:

Jos #n> 0 # ja # A # on lähentäminen #sqrt (n) #, sitten:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

missä #b = n-a ^ 2 #

Selitys:

Oletetaan, että haluamme löytää jonkin numeron neliöjuuren #n> 0 #.

Lisäksi haluaisimme, että tulos olisi jonkinlainen jatkuva murto, joka toistuu jokaisessa vaiheessa.

Yrittää:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (valkoinen) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (valkoinen) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Vähentää # A # molemmista päistä saat:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Kerro molemmat puolet #sqrt (n) + a # saada:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Niin jos # ^ 2 # on hieman alle # N #sitten # B # tulee olemaan pieni ja jatkuva murto konvergoituu nopeammin.

Esimerkiksi, jos meillä on # N = 28 # ja valitse # A = 5 #, sitten saamme:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Niin:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

joka antaa meille arviot:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~ ~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~ 5,2915094 #

Laskin kertoo minulle #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Näin ollen tämä ei ole lähentymässä erityisen nopeasti.

Vaihtoehtoisesti saatamme laittaa # N = 28 # ja # A = 127/24 # löytää:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Niin:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

antaa meille arviot:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~ ~ 5.29150262467 #

Se lähenee paljon nopeammin.

Vastaus:

Neliöjuurien likiarvot löytyvät rekursiivisesti määritetystä järjestyksestä.

Selitys:

#väri valkoinen)()#

Menetelmä

Annettu positiivinen kokonaisluku # N # joka ei ole täydellinen neliö:

• Päästää #p = lattia (sqrt (n)) # on suurin positiivinen kokonaisluku, jonka neliö ei ylitä # N #.

• Päästää #q = n-p ^ 2 #

• Määritä kokonaislukujakso seuraavasti:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "kohdalla" i> = 1):} #

Sitten sekvenssin peräkkäisten termien suhde pyrkii kohti # P + sqrt (n) #

#väri valkoinen)()#

esimerkki

Päästää # N = 7 #.

Sitten #p = lattia (sqrt (7)) = 2 #, siitä asti kun #2^2=4 < 7# mutta #3^2 = 9 > 7#.

Sitten # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Niinpä järjestyksemme alkaa:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Teoriassa peräkkäisten ehtojen suhdetta tulisi suunnata # 2 + sqrt (7) #

Katsotaan:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Ota huomioon, että # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#väri valkoinen)()#

Kuinka se toimii

Oletetaan, että meillä on tietyn arvon määrittämä sekvenssi # a_1, a_2 # ja sääntö:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

joidenkin vakioiden osalta # P # ja # Q #.

Harkitse yhtälöä:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Yhtälön juuret ovat:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Sitten mikä tahansa järjestys, jossa on yleinen termi # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # täyttää määrittämäsi toistosäännön.

Seuraava ratkaisee:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

varten # A # ja # B #.

Löydämme:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

ja siten:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Joten näiden arvojen kanssa # x_1, x_2, A, B # meillä on:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Jos #q <3p ^ 2 # sitten #abs (x_2) <1 # ja suhdetta peräkkäisten termien välillä pyritään suuntaamaan # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Vastaus:

Modulaarinen jako

Selitys:

Modulaarinen jakautuminen on aivan sama kuin jako paitsi vastaus on loput todellisen arvon sijasta. Sen sijaan, että #-:# symboli, käytät #%# symboli.

Esimerkiksi yleensä, jos haluat ratkaista #16-:5# saatat #3# loput #1# tai #3.2#. Modulaarista jakoa käyttäen #16%5=1#.

Vastaus:

Arvioi neliöt yhteenvetoineen

Selitys:

Tavallisesti sinun pitäisi tietää neliöt kuten #5^2=25#. Kun numerot kuitenkin kasvavat, kuten #25^2#, on vaikeampi tietää pois päältä.

Tajusin, että jonkin ajan kuluttua neliöt ovat vain parittomia lukuja.

Tarkoitan tätä:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # missä # K # on perusarvo miinus #1#

Niin #5^2# voidaan kirjoittaa seuraavasti:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Se antaa sinulle:

#1+3+5+7+9#

Tämä on itse asiassa #25#.

Koska numerot kasvavat aina #2#, Voisin sitten lisätä ensimmäisen ja viimeisen numeron ja kertoa sitten # K / 2 #.

Joten #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Joten voin vain tehdä #(49+1)(25/2)# ja saada #25^2# mikä on #625#.

Se ei ole todella käytännöllistä, mutta on mielenkiintoista tietää.

#väri valkoinen)()#

Bonus

Sen tietäen:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n termit" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

avulla voimme ratkaista joitakin neliöiden eroja koskevia ongelmia.

Minkälaisia ratkaisuja ovat esimerkiksi positiiviset kokonaisluvut #m, n # of # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Tämä vähentää sitä, että peräkkäisten parittomien kokonaislukujen summat nousevat #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "keskiarvo 20" #

#color (valkoinen) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (valkoinen) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (valkoinen) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "keskiarvo 10" #

#color (valkoinen) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (valkoinen) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (valkoinen) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #