Mikä on suurimman suorakulmion alue, joka voidaan merkitä ellipsiin: 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36?

Mikä on suurimman suorakulmion alue, joka voidaan merkitä ellipsiin: 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36?
Anonim

Vastaus:

#A = 12 #

Selitys:

# 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36 ekviv x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Ongelma voidaan aiheuttaa seuraavasti:

Etsi max # Xy # tai vastaavasti Max # X ^ 2 y ^ 2 # niin että

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Tee nyt #X = x ^ 2, Y = y ^ 2 # ongelma vastaa

löytö #max (X * Y) # edellyttäen # X / 4 + Y / 9 = 1 #

Lagrangian on kiinteän pisteen määrittämiseksi

#L (X, Y, lambda) = X * Y + lambda (X / 4 + Y / 9-1) #

Pysyvyysolosuhteet ovat

#grad L (X, Y, lambda) = vec 0 #

tai

# {(lambda / 2 + Y = 0), (lambda / 9 + X = 0), (X / 2 + Y / 9 - 1 = 0):} #

Ratkaisu # X, Y, lambda # antaa

# {X_0 = 2, Y_0 = 9/2, lambda_0 = -18} #

niin # {x_0 = sqrt (2), y_0 = 3 / sqrt (2)} #

#A = 4 x_0 y_0 = 4 xx3 = 12 #