Miten löydät lineaarisen lähentymisen juurelle (4) (84)?

Miten löydät lineaarisen lähentymisen juurelle (4) (84)?
Anonim

Vastaus:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Selitys:

Ota huomioon, että #3^4 = 81#, joka on lähellä #84#.

Niin #root (4) (84) # on hieman suurempi kuin #3#.

Paremman likiarvon saamiseksi voimme käyttää lineaarista lähentämistä, Newtonin menetelmää.

Määritellä:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Sitten:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

ja niille on annettu likimääräinen nolla # X = a # of #F (x) #, parempi lähentäminen on:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Joten meidän tapauksessamme # A = 3 #, parempi lähentäminen on:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02bar (7) #

Tämä on melkein tarkkaa #4# merkittäviä lukuja, mutta lähdetäänkö lähentymiseen #3.03#

Vastaus:

#root (4) (84) ~~ 3,02778 #

Selitys:

Huomaa, että lineaarinen lähentäminen lähellä pistettä # A # voi antaa:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Jos annettu: #f (x) = juuri (4) (x) #

sitten sopiva valinta # A # olisi # A = 81 # koska tiedämme #root (4) 81 = 3 # täsmälleen ja se on lähellä #84#.

Niin:

#f (a) = f (81) = juuri (4) (81) = 3 #

Myös;

#f (x) = x ^ (1/4) # niin #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Siksi voimme lähentää (lähellä #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

# tarkoittaa juuria (4) (x) ~ ~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Niin:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Tarkempi arvo on #3.02740#

joten lineaarinen lähentyminen on melko lähellä.

Vastaus:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Selitys:

Voimme sanoa, että meillä on tehtävä #f (x) = juuri (4) (x) #

ja # root (4) (84) = f (84) #

Nyt löydetään funktion johdannainen.

Käytämme tehosääntöä, jossa todetaan, että jos #f (x) = x ^ n #sitten #f '(x) = nx ^ (n-1) # missä # N # on vakio.

#F (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Arvioi nyt # root (4) (84) #, yritämme löytää täydellisen neljännen tehon, joka on lähinnä 84: ää

Katsotaan…

#1#

#16#

#81#

#256#

Me näemme sen #81# on meidän lähin.

Nyt löydämme funktion tangenttilinjan, kun # X = 81 #

=>#f "(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f "(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f "(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f "(81) = 1/108 #

Tämä on etsimäsi rinne.

Yritetään kirjoittaa yhtälö tangenttilinjasta lomakkeessa # Y = mx + b #

No, mikä on # Y # sama kuin milloin # X = 81 #?

Katsotaan…

#f (81) = juuri (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Siksi meillä on nyt:

# 3 = M81 + b # Tiedämme, että rinne, # M #, on #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Nyt voimme ratkaista # B #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Siksi tangenttilinjan yhtälö on # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Käytämme nyt 84: tä # X #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># Y = 7/9 + 9/4 #

=># Y = 28/36 + 81/36 #

=># Y = 109/36 #

=># Y = 3.02bar7 #

Siksi, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #