Miten todistat, että sekvenssi {2 ^ -n} konvergoituu n = 1: stä äärettömään käyttämällä lähentymisen määritelmää?

$Miten todistat, että sekvenssi {2 ^ -n} konvergoituu n = 1: stä äärettömään käyttämällä lähentymisen määritelmää?$

Vastaus:

Käytä eksponentiaalisen funktion ominaisuuksia N: n määrittämiseksi, kuten # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # jokaiselle # m, n> N #

Selitys:

Lähentymisen määritelmässä todetaan, että # {A_n} # yhtyy, jos:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Niin, annetaan #epsilon> 0 # ottaa #N> log_2 (1 / epsilon) # ja # m, n> N # kanssa #m <n #

Kuten #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # niin # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Nyt kuin # 2 ^ x # on aina positiivinen, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, niin

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

Ja kuten # 2 ^ (- x): # on supistumassa ja #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Mutta:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Niin:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

M.o.t.

H (x): n kuvaaja näkyy. Kuvaaja näyttää jatkuvalta, missä määritelmä muuttuu. Osoita, että h on itse asiassa jatkuvaa löytämällä vasemman ja oikean rajan ja osoittamalla, että jatkuvuuden määritelmä täyttyy?

Katso lisätietoja selityksestä. Osoittaakseen, että h on jatkuva, meidän on tarkistettava sen jatkuvuus x = 3. Tiedämme, että h on jatkoa. x = 3, jos ja vain jos, lim_ (x - 3) h (x) = h (3) = lim_ (x - 3+) h (x) ............ ................... (ast). Kun x on 3-, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1. :. lim_ (x - 3) h (x) = lim_ (x - 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) +1, rArr lim_ (x - 3) h (x) = 4 ............................................ .......... (ast ^ 1). Samoin lim_ (x 3+) h (x) = lim_ (x 3+) 4 (0,6) ^ (x-3) = 4 (0,6) ^ 0. rArr lim_ (x - 3+) h (x) = 4 ..........................

Miten lähentymisen määritelmän avulla osoitat, että sekvenssi {5+ (1 / n)} konvergoituu n = 1: stä äärettömään?

Olkoon: a_n = 5 + 1 / n minkä tahansa m, n: n NN: ssä n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m-1 / n) n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n ja 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Mikä tahansa todellinen luku epsilon> 0, valitse sitten kokonaisluku N> 1 / epsilon. Millä tahansa kokonaislukuilla m, n> N meillä on: abs (a_m-a) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, joka osoittaa Cauchyn ehton sekvenssin konvergenssille.

Miten todistat, että sekvenssi lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 konvergoituu käyttämällä lähentymisen määritelmää?

Mikä tahansa numero epsilon> 0 valitse M> 1 / sqrt (6epsilon), kun M on NN: ssä. Sitten, kun n> = M, meillä on: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon ja niin: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon, joka osoittaa rajaa.