Kolmion korkeus kasvaa nopeudella 1,5 cm / min, kun taas kolmion pinta-ala kasvaa nopeudella 5 neliömetriä / min. Millä nopeudella kolmio muuttuu, kun korkeus on 9 cm ja alue on 81 neliömetriä?

Tämä on siihen liittyvä muutoshinta.

Kiinnostavat muuttujat ovat

# A # = korkeus

# A # = alue ja, koska kolmion alue on # A = 1 / 2ba #, me tarvitsemme

# B # = pohja.

Annetut muutosnopeudet ovat yksikköinä minuutissa, joten (näkymätön) riippumaton muuttuja on # T # = aika minuutteina.

Meille annetaan:

# (da) / dt = 3/2 # cm / min

# (dA) / dt = 5 # cm#''^2#/ min

Ja meitä pyydetään löytämään # (Db) / dt # kun #a = 9 # cm ja #A = 81 #cm#''^2#

# A = 1 / 2ba #, erottamalla # T #, saamme:

# D / dt (A) = d / dt (1 / 2ba) #.

Tarvitsemme tuotesäännön oikealla puolella.

# (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b (da) / dt #

Meille annettiin jokainen arvo paitsi # (Db) / dt # (jota yritämme löytää) ja # B #. Käyttämällä alueen ja annettujen arvojen kaavaa # A # ja # A #, näemme sen # B = 18 #cm.

korvaamalla:

# 5 = 1/2 (db) / dt (9) +1/2 (18) 3/2 #

Ratkaise # (db) / dt = -17 / 9 #cm / min.

Perusta laskee #17/9# cm / min.

Vesi vuotaa ulos käännetystä kartiomaisesta säiliöstä nopeudella 10 000 cm3 / min samalla kun vettä pumpataan säiliöön vakionopeudella Jos säiliön korkeus on 6 m ja halkaisija ylhäällä on 4 m ja jos vedenpinta nousee 20 cm / min nopeudella, kun veden korkeus on 2m, miten löydät sen, kuinka nopeasti vettä pumpataan säiliöön?

Olkoon V säiliössä olevan veden tilavuus, cm ^ 3; anna h olla veden syvyys / korkeus, cm; ja anna r olla veden pinnan säde (ylhäällä), cm. Koska säiliö on käänteinen kartio, niin myös veden massa. Koska säiliön korkeus on 6 m ja säde 2 m: n yläosassa, samanlaiset kolmiot viittaavat siihen, että fr {h} {r} = fr {6} {2} = 3 niin, että h = 3r. Käänteisen vesikartion tilavuus on sitten V = fr {1} {3} r r {{}} = r = {3}. Nyt erotella molemmat puolet ajan t suhteen (minuutteina) saadaksesi frac {dV} {dt} = 3 r r {{}} cdot fr {dr}

Öljyn roiskuminen säiliöalustasta leviää ympyrään meren pinnalla. Vuodon pinta kasvaa nopeudella 9π m² / min. Kuinka nopeasti vuoto säde kasvaa, kun säde on 10 m?

Dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min. Koska ympyrän alue on A = pi r ^ 2, voimme ottaa eron kummallakin puolella saadakseen: dA = 2pirdr Siten säde muuttuu nopeudella dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Näin ollen dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 m / min.

Mikä on leveyden (ft / s) muutosnopeus, kun korkeus on 10 jalkaa, jos korkeus pienenee tällöin nopeudella 1 ft / s.Kulmalla on sekä muuttuva korkeus että muuttuva leveys , mutta korkeus ja leveys muuttuvat siten, että suorakulmion alue on aina 60 neliömetriä?

Leveyden muutosnopeus ajan kanssa (dW) / (dt) = 0,6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / (dt) ) = - 1 "ft / s" Joten (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / h (dW) / ( dh) = - (60) / (h ^ 2) Joten (dW) / (dt) = - (- (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) Joten kun h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0,6 "ft / s"