Öljyn roiskuminen säiliöalustasta leviää ympyrään meren pinnalla. Vuodon pinta kasvaa nopeudella 9π m² / min. Kuinka nopeasti vuoto säde kasvaa, kun säde on 10 m?

Vastaus:

#dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min #.

Selitys:

Koska ympyrän alue on # A = pi r ^ 2 #, voimme ottaa kummallakin puolella olevan erotuksen saadaksesi:

# JM = 2pirdr #

Siten säde muuttuu nopeudella # Dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) #

Täten, #dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 m // min #.

Kolmion korkeus kasvaa nopeudella 1,5 cm / min, kun taas kolmion pinta-ala kasvaa nopeudella 5 neliömetriä / min. Millä nopeudella kolmio muuttuu, kun korkeus on 9 cm ja alue on 81 neliömetriä?

Tämä on siihen liittyvä muutoshinta. Kiinnostavat muuttujat ovat a = korkeus A = alue ja koska kolmion pinta-ala on A = 1 / 2ba, tarvitsemme b = base. Annetut muutosnopeudet ovat yksikköinä minuutissa, joten (näkymätön) riippumaton muuttuja on t = aika minuutteina. Meille annetaan: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min Ja meitä pyydetään löytämään (db) / dt kun a = 9 cm ja A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, erottelemalla suhteessa t: hen saamme: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Tarvitsemme tuotesäännön oik

Vesi vuotaa ulos käännetystä kartiomaisesta säiliöstä nopeudella 10 000 cm3 / min samalla kun vettä pumpataan säiliöön vakionopeudella Jos säiliön korkeus on 6 m ja halkaisija ylhäällä on 4 m ja jos vedenpinta nousee 20 cm / min nopeudella, kun veden korkeus on 2m, miten löydät sen, kuinka nopeasti vettä pumpataan säiliöön?

Olkoon V säiliössä olevan veden tilavuus, cm ^ 3; anna h olla veden syvyys / korkeus, cm; ja anna r olla veden pinnan säde (ylhäällä), cm. Koska säiliö on käänteinen kartio, niin myös veden massa. Koska säiliön korkeus on 6 m ja säde 2 m: n yläosassa, samanlaiset kolmiot viittaavat siihen, että fr {h} {r} = fr {6} {2} = 3 niin, että h = 3r. Käänteisen vesikartion tilavuus on sitten V = fr {1} {3} r r {{}} = r = {3}. Nyt erotella molemmat puolet ajan t suhteen (minuutteina) saadaksesi frac {dV} {dt} = 3 r r {{}} cdot fr {dr}

Lattialle vuotava vesi muodostaa pyöreän altaan. Altaan säde kasvaa nopeudella 4 cm / min. Kuinka nopeasti allasalue kasvaa, kun säde on 5 cm?

40pi "cm" ^ 2 "/ min" Ensinnäkin meidän pitäisi aloittaa yhtälöstä, jonka tiedämme liittyvän ympyrän, altaan ja sen säteen alueelle: A = pir ^ 2 Haluamme kuitenkin nähdä, kuinka nopeasti alue allas kasvaa, mikä kuulostaa paljon kuin korko ... joka kuulostaa paljon johdannaiselta. Jos otamme A = pir ^ 2: n johdannaisen ajan suhteen, t, näemme, että: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Älä unohda, että ketjusääntö pätee oikealle käden puolella, jossa r ^ 2 - tämä on samanlainen kuin im