Mikä on f (x) = arctan (x) Taylor-sarja?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Katsokaamme joitakin yksityiskohtia.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Muista, että geometrinen tehosarja

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

korvaamalla # X # mennessä # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = summa_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Niin, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Yhdistämällä

#f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

asettamalla integroitu merkki summan sisään, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

tehosäännön mukaan

# = Sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Siitä asti kun #F (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Oikeanpuoleinen C = 0 #

Siten, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #