Mitä ovat kvaternionit?

Vastaus:

Eräänlainen numero, jolle kertolasku ei ole yleensä kommutatiivinen.

Selitys:

Todelliset numerot (# RR #) voidaan esittää linjalla - yksiulotteinen tila.

Monimutkaiset numerot (# CC #) voidaan esittää tasolla - kaksiulotteinen tila.

Quaternions (H) voidaan esittää neliulotteisella avaruudella.

Tavallisissa aritmeettisissa numeroissa noudatetaan seuraavia sääntöjä:

Lisäys

identiteetti: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

inverse: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

assosiatiivisuus: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

commutativity: #AA a, b: a + b = b + a #

kertolasku

identiteetti: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Käänteinen ei-nolla: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

assosiatiivisuus: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

commutativity: #color (punainen) (AA a, b: a * b = b * a) #

Yhdessä

Distributivity: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#väri valkoinen)()#

Nämä säännöt toimivat rationaalisten numeroiden joukossa # QQ #, reaalilukujen joukko # RR # ja monimutkaiset numerot # CC # ja määritellä, mitä kutsutaan nimellä a ala - sarja, joka on varustettu näiden sääntöjen mukaisilla lisäys- ja kertolaskuilla.

Quaternions (H) ovat nimeltään a vinossa kentässä tai assosiatiivinen jakoalgebra - sarja, joka on varustettu lisäys- ja kertolaskutoiminnoilla, jotka täyttävät kaikki nämä olosuhteet lukuun ottamatta kertolaskua.

Myös a #4# ulottuvuuden vektoritila Realsin yli, ne ovat suurimmat assosiatiivisen divisioonan algebrat Realsin yli, vain kaksi muuta # RR # ja # CC #.

Real-akselin lisäksi muiden kolmen akselin yksiköt kutsutaan # I #, # J # ja # K #. Ne ovat kaikki neliön juuret #-1#.

Nämä kolme kuvitteellista yksikköä täyttävät seuraavat ehdot:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Kvaternioneja voi edustaa # 2xx2 # matriisit, joissa on monimutkaisia arvoja tai # 4xx4 # matriisit, joilla on todelliset arvot.

Heillä on sovelluksia mekaniikassa ja teoreettisessa fysiikassa.

#väri valkoinen)()#

Alaviite

Huomaa, että sanoin assosiatiivinen jako algebra. Kvaternionien ulkopuolella ovat vielä muukalaisimmat Octonionit, jotka hylkäävät vaatimuksen, että kertolasku on assosiatiivinen.