Auttaisitko minua? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2 x) * sinx) dx

Vastaus:

# = (2e ^ (pi) + 1) / 5 #

Selitys:

tämä edellyttää integrointia osittain seuraavasti. Rajat jätetään pois loppuun asti

# int (e ^ (2x) sinx) dx #

#COLOR (punainen) (I = Intu (dv) / (dx) dx) = uv-INTV (du) / (dv) dx #

# U = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2 x) dx #

# (Dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#COLOR (punainen) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

toinen integraali tehdään myös osilla

# U = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2 x) dx #

# (Dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#COLOR (punainen) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#COLOR (punainen) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (punainen) (I) #

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

asettaa nyt rajoitukset

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (E ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) + 1) / 5 #

Vastaus:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Selitys:

Vaikka jo annettu vastaus on täydellinen, halusin vain mainita helpomman tavan saavuttaa sama vastaus käyttämällä hieman kehittyneempää lähestymistapaa - monimutkaisten numeroiden kautta.

Aloitamme kuuluisasta suhteesta

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

missä # I = sqrt {-1} #, ja huomaa, että tämä tarkoittaa sitä

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) tarkoittaa e ^ {2x} sin (x) = im (e ^ {(2 + i} x)) #

missä #Olen# tarkoittaa kuvitteellista osaa.

Niin

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin (x) dx = im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ i}) #

# = Im ({eli ^ pi -1} / {2 + i} kertaa {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + ie ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) kertaa (-1) + e ^ pi kertaa 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #