Q.1 Jos alfa, beta ovat yhtälön juuret x ^ 2-2x + 3 = 0, hanki yhtälö, jonka juuret ovat alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa-2 ja beeta ^ 3-beeta ^ 2 + beeta + 5?

# Q.1 # Jos # Alfa-, beta- # ovat yhtälön juuret # X ^ 2-2x + 3 = 0 # saada yhtälö, jonka juuret ovat # alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 # ja # Beeta ^ 3-beeta ^ 2 + beta 5 #?

Vastaus

annettu yhtälö # X ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => X = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

Päästää # alpha = 1 + sqrt2i ja beta = 1-sqrt2i #

Anna nyt

# gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 #

# => gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 3-alfa-1 + 2alpha-1 #

# => Gamma = (alfa-1) ^ 3 + alfa-1 + alfa #

# => Gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => Gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #

Ja anna

# Delta = beeta ^ 3-beeta ^ 2 + beta 5 #

# => Delta = beeta ^ 2 (beeta-1) + beta 5 #

# => Delta = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

Niinpä neliöyhtälö, jolla on juuret #gamma ja delta # on

# X ^ 2- (gamma + delta) x + gammadelta = 0 #

# => X ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #

# => X ^ 2-3x + 2 = 0 #

# Q.2 # Jos yhtälön juuri on # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # olla toisen neliö, Todista se # B ^ 3 + a ^ 2c + AC ^ 2 = 3ABC #

Anna yhden juuren olla # Alpha # sitten muut juuret ovat # Alfa ^ 2 #

Niin # Alfa ^ 2 + alfa = -b / a #

# Alfa ^ 3 = c / a #

# => A ^ 3-1 = c / a-1 #

# => (Alfa-1) (alfa ^ 2 + alfa + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #

# => (Alfa-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #

# => (Alfa-1) ((a-b) / a) = (c-a) / a #

# => (Alfa-1) = (c-a) / (a-b) #

# => Alfa = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #

Nyt #alpha # on yksi kvadratiivisen yhtälön juurista # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # voimme kirjoittaa

# Aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => A kappale ((c-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #

# => (C-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #

# => AC ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #

# => B ^ 3 + a ^ 2c + AC ^ 2 = 3ABC #

osoittautui

vaihtoehto

# Aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => Aalpha + b + c / a = 0 #

# => (C / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #

# => C ^ (1/3) ^ (2/3) + c ^ (2/3) ^ (1/3) = - b #

# => (C ^ (1/3) ^ (2/3) + c ^ (2/3) ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #

# => (C ^ (1/3) ^ (2/3)) ^ 3+ (c ^ (2/3) ^ (1/3)) ^ 3 + 3 c ^ (1/3) ^ (2/3) XXC ^ (2/3) ^ (1/3) (c ^ (1/3) ^ (2/3) + c ^ (2/3) ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #

# => N ^ 2 + c ^ 2a + 3Ca (-b) = (- b) ^ 3 #

# => B ^ 3 + n ^ 2 + c ^ 2a = 3ABC #