Vastaus:
Katso alla oleva selitys
Selitys:
Toiminto on
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Osittaiset johdannaiset ovat
# (DELF) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (Dely) = 2y + x-3 #
Päästää # (DELF) / (delx) = 0 # ja # (DELF) / (Dely) = 0 #
Sitten, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(X = -3), (y = 3):} #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Hessian matriisi on
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (Dely ^ 2))) #
Määrittäjä on
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Siksi, Satulapisteitä ei ole.
#D (1,1)> 0 # ja # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, paikallinen minimi on #(-3,3)#
Vastaus:
Paikallinen vähimmäismäärä: #(-3,3)#
Selitys:
Pisteiden ryhmä, joka sisältää sekä äärimmäisiä että satulapisteitä, löytyy, kun molemmat # (DELF) / (delx) (x, y) # ja # (DELF) / (Dely) (x, y) # ovat nolla.
mikäli # X # ja # Y # ovat riippumattomia muuttujia:
# (DELF) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (Dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Joten meillä on kaksi samanaikaista yhtälöä, jotka onnellisina tapahtuvat lineaarisesti:
# 2x + y + 3 = 0 #
# X + 2y-3 = 0 #
Ensimmäisestä:
# Y = -2x-3 #
Korvaa toinen:
# X + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# X-4x-6-3 = 0 #
# 3x-9 = 0 #
# X = -3 #
Korvaa takaisin ensimmäiseen:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# Y = 3 #
Joten on yksi piste, jossa ensimmäiset johdannaiset tulevat tasaisesti nollaan, joko ekstremumiin tai satulaan # (X, y) = (- 3,3) #.
Voit päätellä, mitä meidän täytyy laskea toisen johdannaisen matriisi, Hessian matriisi (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (Dely ^ 2))) #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #
Täten
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (Dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Kaikki toisen asteen johdannaiset ovat tasaisesti vakioita riippumatta arvoista # X # ja # Y #, joten emme tarvitse erikseen laskea kiinnostuksen kohteen arvoja.
Huom. Eriyttämisjärjestys ei koske jatkuvien toisten johdannaisten toimintoja (Clairaultin lause, sovellus täällä: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_deratives), joten odotamme, että # (Del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, kuten näemme edellä mainituissa tuloksissamme.
Tässä kaksivaiheisessa tapauksessa voimme päätellä, minkä tyyppinen piste on Hessianin determinantista, # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (Dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Tässä annetaan hallintatestin muoto:
Näemme, että determinantti on #>0#, ja niin on # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Joten päätämme, että #(-3,3)#, nolla ensimmäisen johdannaisen ainoa kohta on funktion paikallinen minimi.
Yhden ulottuvuuden funktion kysymyksen saniteettitarkistuksena lähetän yleensä sen kaavion, mutta Sokratilla ei ole pintakuviointilaitetta, joka soveltuu kaksiulotteisiin toimintoihin niin pitkälle kuin näen. Joten aion ylittää nämä kaksi toimintoa #f (-3, y) # ja #f (x, 3) #, jotka eivät kuvaa meille kaikkia toimialueita, mutta näyttää meille niiden välisen vähimmäismäärän, joka näkyy odotetulla tavalla # Y = 3 # ja # X = -3 #, ottaen samalla toiminnallisella arvolla # F = -5 # joka tapauksessa.
Kuten #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
kaavio {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
