Mikä on vähimmäisarvo g (x) = x / csc (pi * x) aikavälillä [0,1]?

Vastaus:

On vähimmäisarvo #0# sijaitsee sekä osoitteessa # X = 0 # ja # X = 1 #.

Selitys:

Ensinnäkin voimme kirjoittaa tämän toiminnon välittömästi

#G (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Muistakaa tämä #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Kun haluat löytää vähimmäisarvot aikavälillä, huomaa, että ne voivat esiintyä joko aikavälin päätepisteissä tai millä tahansa aikavälillä esiintyvillä kriittisillä arvoilla.

Jos haluat löytää kriittiset arvot aikavälillä, aseta funktion johdannainen yhtä suureksi #0#.

Ja erottaaksemme toiminnon meidän on käytettävä tuotesääntö. Tuotesäännön soveltaminen antaa meille

#G '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Jokainen näistä johdannaisista antaa:

# D / dx (x) = 1 #

Ja kautta ketjun sääntö:

# D / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Näitä yhdistämällä näemme sen

#G '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Näin ollen kriittiset arvot ilmenevät aina, kun

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Emme voi ratkaista tätä algebraalisesti, joten käytä laskimen avulla kaikkia tämän funktion nollia tietyllä aikavälillä #0,1#:

kaavio {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Välillä olevat kaksi kriittistä arvoa ovat # X = 0 # ja # Xapprox0.6485 #.

Joten tiedämme, että vähimmäisarvo #G (x) # voi tapahtua osoitteessa #3# eri paikkoja:

• # X = 0 # tai # X = 1 #, välin päätepisteet
• # X = 0 # tai # X = 0,6485 #, välin sisällä olevat kriittiset arvot

Liitä nyt kaikki mahdolliset arvot välein:

# {(G (0) = 0, väri (punainen) teksti (minimi)), (g (0,6485) = 0,5792, väri (sininen) teksti (maksimi)), (g (1) = 0, väri (punainen) teksti (minimi)):} #

Koska on olemassa kaksi arvoa, jotka ovat yhtä pieniä, on sekä minimien arvoja että # X = 0 # ja # X = 1 #. Huomaa, että vaikka menimme läpi löytää ongelmia # X = 0,6485 #, se ei ollut edes pienin.

Kuvaaja on #G (x) # välissä #0,1#:

kaavio {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Huomaa myös, että minimiarvo on #0#, siitä asti kun #G (0) = g (1) = 0 #. Ero on se # X = 0 # ja # X = 1 # ovat minimien sijainnit.