Mikä on sen arvo? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Vastaus:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Selitys:

Me etsimme:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Sekä lukija että 2 nimittäjä #rarr 0 # kuten #x rarr 0 #. siten raja # L # (jos se on olemassa) on määrittelemätön #0/0#, ja näin ollen voimme soveltaa L'Hôpitalin sääntöä saadakseen:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Nyt, käyttämällä laskennan perustekijää:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

Ja,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Ja niin:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Jälleen tämä on määrittelemätön muoto #0/0#, ja näin ollen voimme soveltaa L'Hôpitalin sääntöä uudelleen saadaksesi:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Kumpi, voimme arvioida:

# L = (0) / (2-0) = 0 #