Kysymys # f8e6c

Vastaus:

Selvitä se geometrisena sarjana summan löytämiseksi #12500/3#.

Selitys:

Ilmaistakoon tämä summa:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1,12) ^ - k #

Siitä asti kun #1.12=112/100=28/25#, tämä vastaa:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Käyttämällä sitä # (A / b) ^ - C = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, meillä on:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Voimme myös vetää #500# pois summan merkistä, kuten tämä:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Okei, nyt mitä tämä on? Hyvin, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # on mitä kutsutaan nimellä a geometrinen sarja. Geometrinen sarja sisältää eksponentin, joka on juuri se, mitä meillä on täällä. Tämä mahtava juttu geometristen sarjojen kaltaisista on, että ne ovat yhteenveto # R / (1-r) #, missä # R # on yhteinen suhde; eli numero, joka on nostettu eksponenttiin. Tässä tapauksessa, # R # on #25/28#, koska #25/28# se, mikä on nostettu eksponentille. (Sivuhuomautus: # R # täytyy olla välillä #-1# ja #1#, tai muuten sarja ei lisää mitään.)

Siksi tämän sarjan summa on:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Olemme juuri huomanneet sen #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, joten ainoa asia, joka on jäljellä, on kertoa se #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Tutustu geometriseen sarjaan täältä (kehotan sinua katsomaan koko Khan Akatemian sarjaa geometristen sarjojen osalta).