Pallo pudotetaan suoraan alas 12 metrin korkeudesta. Kun lyömällä maahan, se palaa takaisin 1/3 etäisyydestä, jonka se putosi. Kuinka pitkälle pallo kulkee (sekä ylös- että alaspäin) ennen lepoa?

Vastaus:

Pallo kulkee 24 jalkaa.

Selitys:

Tämä ongelma edellyttää äärettömän sarjan huomioon ottamista. Harkitse pallon todellista käyttäytymistä:

Ensinnäkin pallo putoaa 12 jalkaa.

Seuraavaksi pallo pomppii #12/3 = 4# jalat.

Pallo putoaa sitten 4 jalkaa.

Jokaisella peräkkäisellä pomppulla pallo kulkee

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # jalat, missä # N # on pomppien lukumäärä

Jos siis kuvittelemme, että pallo alkaa #n = 0 #, sitten vastauksemme voidaan saada geometrisestä sarjasta:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Huomaa #-12# Korjaus termi, tämä johtuu siitä, jos aloitamme # N = 0 # me laskemme 0: n pomppia 12 jalkaa ylöspäin ja 12 jalkaa alaspäin. Todellisuudessa pallo kulkee vain puolet siitä, koska se alkaa ilmassa.

Voimme yksinkertaistaa summeemme:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Tämä on vain yksinkertainen geometrinen sarja, joka noudattaa sääntöä, jonka mukaan:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Niin kauan kuin # | R | <1 #

Tämä antaa yksinkertaisen ratkaisun ongelmallemme:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# jalat.