Näytä, että int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Vastaus:

Katso selitys

Selitys:

Haluamme näyttää

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Tämä on melko "ruma" integraali, joten meidän lähestymistapamme ei ole ratkaista tätä integraalia, vaan vertaa sitä "mukavampaan" integraaliin

Me nyt kaikki positiiviset todelliset luvut #COLOR (punainen) (sin (x) <= x) #

Siten integraalin arvo on myös suurempi, kaikkien positiivisten reaalilukujen osalta, jos korvataan # X = sin (x) #, joten jos voimme näyttää

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Sitten myös meidän ensimmäinen lausuma on totta

Uusi integraali on yksinkertainen korvausongelma

# Int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Viimeinen vaihe on huomata se #sin (x) = x => x = 0 #

Siksi voimme päätellä

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #