Kuinka laskea tämän summa? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

ottaen huomioon #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) summa_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

mutta # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # ja

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # sitten

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Vastaus:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # kun # | X | <1 #

Selitys:

Aloitamme kirjoittamalla joitakin kertoimia:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Ensimmäinen asia, jota haluamme tarkastella, on kertoimet (asteen aste) # X # voidaan helposti säätää kertomalla ja jakamalla sarja # X #, joten ne eivät ole niin tärkeitä). Näemme, että ne kaikki ovat kaksi kertaa, joten voimme tuoda esiin kaksi kerrointa:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Suluissa olevat kertoimet voidaan tunnistaa binomialle, jonka teho on # Alfa = -3 #:

# (1 + x) ^ alfa = 1 + alphax + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (alfa-1) (alfa-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3X + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Huomaamme, että kaikkien suluissa olevien termien eksponentit ovat suurempia kahdella verrattuna vain johdettuun sarjaan, joten meidän on kerrottava # X ^ 2 # saada oikea sarja:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Tämä tarkoittaa, että sarjamme on (kun se konvergoituu):

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Jotta voisimme varmistaa, että emme ole tehneet virhettä, voimme nopeasti käyttää Binomial-sarjaa laskemaan sarjan # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3X + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3X + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3X + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Voimme kuvata tätä mallia näin:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = summa_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Koska ensimmäinen termi on oikea #0#, voimme kirjoittaa:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

joka on se sarja, jonka aloimme, tarkistamalla tuloksemme.

Nyt meidän on vain selvitettävä lähentymisväli, jotta näet, milloin sarjalla on arvo. Voimme tehdä tämän tarkastelemalla binomien sarjan lähentymisolosuhteita ja havaitsemme, että sarja konvergoituu milloin # | X | <1 #