Ympyrällä A on keskipiste (3, 5) ja pinta-ala 78 pi. Ympyrällä B on keskipiste (1, 2) ja pinta-ala 54 pi. Onko ympyrät päällekkäisiä?

Vastaus:

Joo

Selitys:

Ensinnäkin tarvitsemme kahden keskuksen välisen etäisyyden # D = sqrt ((deltaX) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Tarvitsemme nyt säteiden summaa, koska:

#D> (r_1 + r_2), "Piirit eivät päällekkäisiä" #

# D = (r_1 + r_2), "Circles vain kosketa" #

#D <(r_1 + r_2);

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#, joten ympyrät ovat päällekkäisiä.

Todiste:

kaavio {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

Vastaus:

Nämä ovat päällekkäisiä, jos #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}.

Voimme ohittaa laskimen ja tarkistaa # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # tai #4(13)(54) > 11^2# se varmasti on, niin kyllä, päällekkäisyys.

Selitys:

Ympyräalue on tietenkin #pi r ^ 2 # niin me jaamme maksuttoman # Pi #s.

Meillä on neliön säteet

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

ja neliöiden välinen etäisyys keskusten välillä

# D ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Pohjimmiltaan haluamme tietää, jos # r_1 + r_2 ge d #, ts. jos voimme tehdä kolmion kolmesta säteestä ja segmenttien väliin keskusten välillä.

Neliön pituudet ovat kaikki mukavia kokonaislukuja, ja se on melko hullu, että me kaikki pääsemme instinktiivisesti laskimeen tai tietokoneeseen ja ryhdymme ottamaan neliöjuurta.

Meidän ei tarvitse, mutta se vaatii vähän kiertotietä. Käytä Heronin kaavaa, soita alueelle # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # missä # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((+ b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Se on jo parempi kuin Heron. Mutta jatkamme. Ohitan jonkin verran tediumia.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Se on hienosti symmetrinen, kuten odotettaisiin alueen kaavalta. Tehdään se vähemmän symmetrisesti. Palauttaa mieleen

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

lisääminen, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Se on kaava kolmion neliön alueelle, kun otetaan huomioon sivujen neliön pituudet. Kun jälkimmäiset ovat järkeviä, niin on myös ensimmäinen.

Kokeile sitä. Meillä on vapaus määrittää puolet, jotka haluamme; kädet lasketaan parhaiten # C # suurin puoli, # c ^ 2 = 78 #

# ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Jo ennen sen laskemista voimme nähdä, että meillä on positiivinen # 16Q ^ 2 # niin todellinen kolmio, jolla on positiivinen alue, joten päällekkäiset ympyrät.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Jos olisimme saaneet negatiivisen arvon, kuvitteellisen alueen, se ei ole todellinen kolmio, joten ei-päällekkäiset ympyrät.