Mitkä ovat f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) ääriarvot ja satulapisteet?

Vastaus:

#(0,0)# on satulapiste

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # ja # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # ovat paikallisia maksimi

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # ja # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # ovat paikallisia vähimmäismääriä

# (0, pm 1 / sqrt 2) # ja # (pm 1 / sqrt 2,0) # ovat taivutuskohtia.

Selitys:

Yleinen toiminto #F (x, y) # jossa on paikallaan oleva kohta # (X_0, y_0) # meillä on Taylor-sarjan laajennus

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Toimintoa varten

#f (x) = x y _ ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

meillä on

# (del f) / (del x) = te ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

On helppo huomata, että molemmat ensimmäiset johdannaiset häviävät seuraavissa pisteissä

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Näiden paikalla olevien pisteiden luonteen tutkimiseksi meidän on tarkasteltava toisten johdannaisten käyttäytymistä.

Nyt

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

ja vastaavasti

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

ja

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Joten #(0,0)# meillä on # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # ja # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - näin ollen

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Jos lähestyt #(0,0)# pitkin linjaa # X = y #, tämä tulee

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

ja niin #(0,0)# on tietenkin minimi, jos lähestyt tästä suunnasta. Toisaalta, jos lähestyt linjaa # X = y # meillä on

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

ja niin #(0,0)# on suurin suunta tähän suuntaan, Täten #(0,0)# on satulapiste.

varten # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # se on helposti nähtävissä

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # ja # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

mikä tarkoittaa sitä

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Niinpä toiminto pienenee, mihin suuntaan siirryt pois # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # ja tämä on a paikallinen enimmäismäärä. On helppo nähdä, että sama pätee # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (tämä olisi pitänyt olla ilmeinen, koska toiminto pysyy samana # (x, y) - (-x, -y) #!

Jälleen molemmille # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # ja # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # meillä on

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # ja # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Niinpä nämä molemmat kohdat ovat paikallisia minimejä.

Neljä pistettä # (0, pm 1 / sqrt2) # ja # (pm 1 / sqrt2, 0) # ovat ongelmallisempia - koska kaikki toisen asteen johdannaiset häviävät näissä kohdissa. Meidän on nyt tarkasteltava korkeamman tason johdannaisia. Onneksi meidän ei todellakaan tarvitse tehdä kovasti töitä tähän - aivan seuraaviin johdannaisiin

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

joka ei ole nolla molemmille # (0, pm 1 / sqrt2) # ja # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Nyt tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä, että

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

joka osoittaa, että tämä kasvaa # f (0,1 / sqrt 2) # samaan suuntaan ja pienenee toisesta. Täten # (0,1 / sqrt2) # on ** taivutuspiste. Sama argumentti toimii myös muissa kolmessa kohdassa.