Mikä on y = (sinx) ^ x johdannainen?

Vastaus:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Selitys:

Käytä logaritmista erilaistumista.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Käytä ominaisuuksia # Ln #)

Eristetään implisiittisesti: (Käytä tuotesääntöä ja ketjun rueliä)

# 1 / y dy / dx = 1 ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Joten meillä on:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Ratkaise # Dy / dx # kertomalla #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Vastaus:

# D / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Selitys:

Helpoin tapa nähdä tämä on:

# (Sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xlnA (sinx)) #

Tämän johdannaisen ottaminen antaa:

# D / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xlnA (sinx)) #

# = (Ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Nyt meidän on huomattava, että jos # (Sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x): # on määrittelemätön.

Kun kuitenkin analysoimme toiminnon käyttäytymistä # X #sillä tämä pitää mielessä, että toiminto toimii riittävän hyvin, jotta se toimisi, koska jos:

# (Sinx) ^ x # lähestyy 0

sitten:

#ln ((sinx) ^ x): # lähestyy # -Oo #

niin:

# E ^ (ln ((sinx) ^ x)) # lähestyy myös 0: ta

Lisäksi huomaamme, että jos #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x): # on monimutkainen numero; kuitenkin kaikki algebra ja laskelmat, joita olemme käyttäneet myös monimutkaisessa tasossa, joten tämä ei ole ongelma.

Vastaus:

Yleisemmin…

Selitys:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #