Miten valita kaksi numeroa, joiden neliöjuurien summa on vähäinen, tietäen, että näiden kahden numeron tuote on a?

Vastaus:

# X = y = sqrt (a) #

Selitys:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "on vähäinen" #

# "Voisimme työskennellä Lagrange-kertoimen L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Tulosten tuottaminen:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(kertomalla x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Nyt on vielä tarkistettava x = 0." #

# "Tällöin x * y = 0 on mahdotonta." #

# "Joten meillä on ainutlaatuinen ratkaisu" #

# X = y = sqrt (a) #

Vastaus:

Yritän viedä sinut alla olevan ratkaisumenetelmän avulla.

Selitys:

Mitä etsimme?

Kaksi numeroa. Anna heidän nimensä, # X # ja # Y #.

Lue kysymys uudelleen.

Haluamme tehdä neliöjuurien summan mahdollisimman pieneksi.

Tämä kertoo meille kaksi asiaa

(1) molemmat numerot eivät ole negatiivisia (kuvien välttämiseksi)

(2) Olemme kiinnostuneita arvosta # Sqrtx + sqrty #

Lue kysymys uudelleen.

Meille kerrotaan myös, että tuote on # X # ja # Y # on # A #.

Kuka valitsee # A #?

Yleensä, jos harjoitus kertoo jotain # A # tai # B # tai # C #, otamme ne jonkun muun antamat vakiot.

Joten saatamme kertoa "tuotteen" # X # ja # Y # on #11#'

tai "tuotteen" # X # ja # Y # on #124#'.

Meidän on ratkaistava kaikki nämä kerralla sanomalla # Xy = a # jonkin verran vakiota # A #.

Joten haluamme tehdä # Sqrtx + sqrty # mahdollisimman pieni # Xy = a # jonkin verran vakiota # A #.

Tämä näyttää optimointiongelmalta ja se on yksi. Joten haluan yhden muuttujan toiminnan minimoida.

# Sqrtx + sqrty # on kaksi muuttujaa, # X # ja # Y #

# Xy = a # on myös kaksi muuttujaa, # X # ja # Y # (muistaa # A # on vakio)

Niin #y = a / x #

Nyt haluamme minimoida:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Etsi johdannainen, sitten kriittinen numero (t) ja testaa kriittinen numero (t). Lopuksi löytyy # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

kriittinen # Sqrta #

#f '(x) <0 # varten #x <sqrta # ja #f '(x)> 0 # varten #x> sqrta #, niin #F (sqrta) # on vähimmäismäärä.

#x = sqrta # ja #y = a / x = sqrta #

Vastaus:

# 2 root (4) (a) #

Selitys:

Tiedämme sen #x_i> 0 # meillä on

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {fr {1} {n}} frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

sitten

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # sitten

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

mutta # x_1x_2 = a # sitten

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #