Kirjoita yhtälö uudelleen käännetyssä x'y'-järjestelmässä ilman x'y'-termiä. Voinko saada apua? Kiitos!

Vastaus:

Toinen valinta:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Selitys:

Annettu yhtälö

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

on yleisessä karteesisessa muodossa kartiomainen osa:

# Ax ^ 2 + Boksi + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

missä #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 ja F = -144 #

Viittaus akseleiden pyörittäminen antaa meille yhtälöt, joiden avulla voimme kääntää kartiomaisen osan määritetyn kulman, # Theta #. Lisäksi se antaa meille yhtälön, jonka avulla voimme pakottaa # Xy # tulla 0: ksi.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Arvojen korvaaminen yhtälöstä 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Yksinkertaistaa:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Käytä yhtälöä (9.4.4b) varmistaaksesi, että uusi kierto aiheuttaa # Xy # termi on 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # todentaa.

Käytä laskennassa yhtälöä (9.4.4a) # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A-C) / 2 cos (2-aseta) - B / 2-sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Käytä laskennassa yhtälöä (9.4.4c) # C #:

#C '= (A + C) / 2 + (C-A) / 2 cos (2-aseta) + B / 2 sin (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Käytä laskennassa yhtälöä (9.4.4f) # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Nyt voimme kirjoittaa suojaamattoman lomakkeen:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Jaa molemmat puolet 144: llä:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Lisää 1 molemmille puolille:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Vastaus:

Vaihtoehto B

Selitys:

Voimme kirjoittaa yhtälön matriisimuodossa ja sitten spin sen pääakselille.

Päästää:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + by), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

# viittaa a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

Ja niin matriisimuodossa:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 neliön neliö #

Kierrä akseleita # BBX # mennessä # Theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #viittaa bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

osaksi kansallista #bb x ^ '= R bb x #:

# viittaa bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

# viittaa bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, kuten R on ortogonaalinen

• #viittaa bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Näiden kahden viimeisen tuloksen ottaminen käyttöön #neliö#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW jos R on matriisi, joka diagonalisoi M, sitten meillä on yhtälö sen pääakseleiden suhteen diagonaaliseen ominaisvektorimatriisiin D, eli:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M ominaisarvot ovat 36 ja 16, joten se voi olla diagonaalinen seuraavasti:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #