Jos f (x) = x tan ^ -1then f (1) on mitä?

Vastaus:

# f (1) # missä #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Selitys:

Oletan, että kysymys on #F (1) # missä #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Tavallisesti käsittelen # Arctan # moniarvoinen. Mutta tässä on selkeä funktion merkintä #F (x) # Sanon, että haluamme käänteisen tangentin pääarvon. Kulma, jossa tangentti 1 on ensimmäisellä neljänneksellä, on # 45 ^ circ # tai # Pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Se on loppu. Mutta jätetään kysymys syrjään ja keskity siihen, mitä #arctan t # todella tarkoittaa.

Ajattelen yleensä #tan ^ -1 (t) # tai vastaavasti (ja mielestäni parempi merkintä) #arctan (t) # kuten a moniarvoinen ilmaisu. "Toiminto" Arctan ei oikeastaan ole toiminto, koska se on käänteinen jotain jaksollista, joka ei voi oikeastaan olla käänteinen koko sen verkkotunnuksen.

Tämä on todella sekava opiskelijoille ja opettajille. Yhtäkkiä meillä on asioita, jotka näyttävät toimilta, jotka eivät oikeastaan toimi. He ovat livahtaneet tutkan alle. Niiden käsittelyyn tarvitaan uusia sääntöjä, mutta niitä ei ole koskaan nimenomaisesti ilmoitettu. Matematiikka alkaa saada sumea, kun sen ei pitäisi.

# x = arctan t # on paras ajatus ratkaisuina #tan x = t. Niitä on laskennallisesti ääretön määrä, yksi per jakso. Tangentilla on # Pi # joten ratkaisut ovat # Pi # toisistaan, mikä on #pi k # tulee kokonaisluku # K #.

Kirjoitan tavallisesti käänteisen tangentin pääarvon Arctanilla pääomalla A. Valitettavasti Sokratiikka pitää sen "korjaavana". Hävin sen täällä:

#t = tan x # on ratkaisuja

#x = arctan t = teksti {Arc} teksti {tan} (t) + pi k quad # kokonaisluku # K #.