Todista, että jos 1

Todista, että jos 1
Anonim

Vastaus:

Katso selitys

Selitys:

Päästää A = p / q missä P ja Q ovat positiivisia kokonaislukuja.

1ltp / q siksi Qltp . P / qlt2 siksi Plt2q . Siksi Qltplt2q .

A + 1 / a = p / q + q / p = (s) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pQ) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2

(Q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) *

(2q) ^ 2 / q ^ 2LT (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2)

(4q ^ 2) / q ^ 2LT (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2)

4LT (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2

4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2

2LT (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2

2lta + 1 / alt5 / 2

5 / 2lt6 / 2

5 / 2lt3

2lta + 1 / alt3

~ ~ Enemmän kehittyneitä aiheita ~ ~

* Tämä olettaa, että P kasvaa, (P + q) ^ 2 / (pq) lisääntyy. Tämä voidaan tarkistaa intuitiivisesti tarkastelemalla kuvaajaa Y = (x + q) ^ 2 / (XQ) päällä x kohdassa (q, 2q) eri positiivisten arvojen osalta Q tai alla olevan laskennan avulla.

~

Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (Delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (Delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (Delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) .

Päällä p (q, 2q) :

Siitä asti kun Pgtqgt0 , P ^ 2gtq ^ 2 täten P ^ 2-Q ^ 2gt0 .

Siitä asti kun Q> 0 , P ^ 2qgt0

Siitä asti kun P ^ 2-Q ^ 2gt0 ja P ^ 2qgt0 , (S ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0

Siitä asti kun Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) ja (S ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 , Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0

Siksi (P + q) ^ 2 / (pq) kasvaa vakiona Q ja Qltplt2q koska Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) on positiivinen.

~~~~

Vastaus:

Kuvaus

Selitys:

Tässä rajoitus (1):

1 <a <2

Rajoitus (2):

Vastavuoroisen lauseen mukaan

1/1> 1 / a> 1/2

1> a> 1/2

Rajoitettuna 1 lisää 1 molemmille puolille, 1 + 1 <a + 1 <2 + 1

2 <a + 1 <3

color (punainen) (a + 1 <3)

Samalla rajoituksella lisätään 1/2

(1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2)

Huomaa jälleen, että 2 <2+1/2

Niin A + 1/2 on oltava alle 2

color (punainen) (a + 1/2) <2

Tästä syystä 2, 1> a> 1/2

Lisää a molemmille puolille, 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a

3> a + 1 / a> 2

2 <a + 1 / a <3

Teimme sen niin A + 1 <3

Niin A + 1 / a on oltava alle 3.

Uudelleen A + 1/2 <2 mutta tässä rajoituksessa a + 1 / a> a + 1/2

Niin, A + 1 / a on oltava suurempi kuin 2.

Siten, # 1> 1 / a> 1 t

Lisäämällä a molemmille puolille

1 + a> a + 1 / a> a + 1/2

3> a + 1 / a> 2

2 <a + 1 / a <3 osoittautui