Miten muunnetaan r = 1 / (4 - costheta) karteesiseen muotoon?

Vastaus:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Selitys:

Hei, Sokraattinen: Onko todella tärkeää kertoa meille, että tämä kysyttiin 9 minuuttia sitten? En halua valehdella. Kerro meille, että sitä pyydettiin kaksi vuotta sitten, eikä kukaan ole voinut tehdä sitä vielä. Myös mitä epäilyttävän identtisesti muotoiltuja kysymyksiä on esitetty useilta paikoilta? Puhumattakaan Santa Cruzista, Yhdysvalloista? On melkein varmasti enemmän kuin yksi, vaikka kuulen Kaliforniassa mukavan. Uskottavuus ja maine ovat tärkeitä erityisesti kotitehtävissä. Älä harhaan ihmisiä. Lopeta rantti.

Kun muunnetaan yhtälöt polaarisista suorakulmaisiin koordinaatteihin, raakavoima suorakulmaisen ja polaarisen korvaamisen välillä

#r = qrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = teksti {arctan2} (y "/," x) quad #

on harvoin paras lähestymistapa. (Tarkoitan täällä tarkoituksellisesti neljän neljänneksen käänteistä tangenttia, mutta älkäämme siirtykö.)

Ihannetapauksessa haluamme käyttää polaarista suorakulmaisiin korvauksiin, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

Tarkkaamme kysymystä.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Nämä polaariset yhtälöt sallivat yleensä negatiivisen # R #, mutta tässä olemme varmoja # R # on aina positiivinen.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Nämä ovat mielestäni ellipsejä, jotka eivät oikeastaan ole merkityksellisiä, mutta antavatko meille idean, mitä toivomme suorakulmaisen muodon näyttävän. Haluamme tavoittaa jotain ilman neliöjuurta tai arktangenttia # R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # on neliöjuuret, mutta #rcos theta = x # ei, joten laajennamme.

# 4r - rcos theta = 1 #

Nyt me vain korvataan; teemme sen vaiheittain.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Lähdetään nyt. Me tiedämme #R> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Tämä on melko pyöreä näköinen ellipsi. (Pienempi vakio kuin #4# alkuperäisessä annettaisiin enemmän epäkeskeistä ellipsia.) Voisimme täydentää neliön asettamalla sen vakiomuodossa, mutta jätetään se täällä.