Miksi emme voi integroida x ^ x: tä?

Vastaus:

Meillä ei ole sääntöä.

Selitys:

Integraaleissa meillä on vakiosäännöt. Ketjun vastainen sääntö, tuotesääntö, anti-power-sääntö ja niin edelleen. Mutta meillä ei ole sellaista toimintoa, jolla on # X # sekä pohjassa että tehossa. Voimme viedä sen johdannaisen hienosti, mutta pyrkimys ottaa sen integraali on mahdotonta, koska sääntöjen puuttuessa se toimisi.

Jos avaat Desmos Graphing Calculator -ohjelman, voit yrittää kytkeä sen

# int_0 ^ x a ^ ada #

ja se kuvaa sitä hienosti. Mutta jos yrität käyttää virranvastaisen säännön tai anti-exponent-sääntöä kuvaajaa vastaan, näet sen epäonnistuvan. Kun yritin löytää sen (jota olen edelleen töissä), ensimmäinen askel oli saada se pois tästä lomakkeesta ja seuraavista:

# Inte ^ (xlnA (x)) dx #

Tämä mahdollistaa olennaisesti laskelman sääntöjen käytön hieman paremmin. Mutta vaikka käytät osien integrointia, et koskaan päästä eroon integraalista. Siksi et itse saa toimintoa sen määrittämiseksi.

Mutta kuten aina matematiikassa, on hauskaa kokeilla.Joten mene eteenpäin ja yritä, mutta ei liian pitkä tai kova, sinut imetään tähän kanin reikään.

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

#y = x ^ x # voidaan integroida. Esimerkiksi

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

toinen asia on nyt päivä, toiminto #F (x) # joka edustaa suljetussa muodossa, primitiivinen # X ^ x # tai toisin sanoen niin, että

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Jos tämä olisi yhteinen käyttö teknis-tieteellisissä ongelmissa, olisimme varmasti keksineet eriytetyn nimen ja symbolin sen manipuloimiseksi. Kuten Lambert-funktiossa, joka määritellään nimellä

#W (x) = x e ^ x #

Vastaus:

Katso alla.

Selitys:

Kuten Cesareo on ilmoittanut (sanomattakin), "me emme voi integroida".

Toiminto #f (x) = x ^ x # on jatkuva # (0, oo) #

ja edelleen # 0, oo) # jos teemme #f (0) = 1 #, niin tehdään. Siksi lopullinen integraali

# int_a ^ b x ^ x dx # on olemassa kaikille # 0 <= a <= b #

Lisäksi caluluksen perusasema kertoo meille, että toiminto # int_0 ^ x t ^ t dt # sillä on johdannainen # X ^ x # varten #x> = 0 #

Se, mitä emme voi tehdä, on ilmaista tämä toiminto mukavassa, rajallisessa, suljetussa muodossa algebrallisia ilmauksia (tai jopa hyvin tunnettuja transsendenttisia toimintoja).

Matematiikassa on monia asioita, joita ei voida ilmaista paitsi muodossa, joka mahdollistaa peräkkäin paremman likiarvon.

Esimerkiksi:

Numero, jonka neliö on #2# ei voida ilmaista desimaalimuodossa tai murto-muodossa käyttäen äärellistä ilmaisua. Joten annamme sille symbolin, # Sqrt2 # ja lähetä se haluttuun tarkkuustasoon.

Kehän ja ympyrän halkaisijan välistä suhdetta ei voida ilmaista äärellisinä käyttämällä kokonaislukujen äärellistä algebrallista yhdistelmää, joten annamme sille nimen, # Pi # ja lähetä se haluttuun tarkkuustasoon.

Ratkaisu # X = cosx # myös voidaan sovittaa mihin tahansa haluttuun tarkkuustasoon, mutta sitä ei voida lopullisesti ilmaista. Tämä numero ei ole tarpeeksi tärkeä, jotta sille voitaisiin antaa nimi.

Kuten Cesareo on sanonut, jos se on # X ^ x # oli monia sovelluksia, matematiikka ottaisi sille nimen.

Laskelmat vaatisivat silti ääretöntä lähentämistä.