Miksi neliöjuuri 5 on irrationaalinen numero?

Vastaus:

Katso selitys …

Selitys:

Tässä on esitys ristiriitaisesta todisteesta:

Olettaa #sqrt (5) = p / q # joitakin positiivisia kokonaislukuja # P # ja # Q #.

Ilman yleisyyden menettämistä voimme olettaa, että #p, q # ovat pienimmät tällaiset numerot.

Sitten määritelmän mukaan:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Kerro molemmat päät # Q ^ 2 # saada:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Niin # P ^ 2 # on jaollinen #5#.

Sitten sitten #5# on prime, # P # on jaettava #5# liian.

Niin #p = 5m # joitakin positiivisia kokonaislukuja # M #.

Joten meillä on:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Jaa molemmat päät loppuun #5# saada:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Jaa molemmat päät loppuun # M ^ 2 # saada:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Niin #sqrt (5) = q / m #

Nyt #p> q> m #, niin #q, m # on pienempi pari kokonaislukua, jonka osamäärä on #sqrt (5) #, joka on ristiriidassa hypoteesimme kanssa.

Joten meidän hypoteesimme #sqrt (5) # voidaan edustaa # P / q # joidenkin kokonaislukujen osalta # P # ja # Q # on väärä. Tuo on, #sqrt (5) # ei ole järkevä. Tuo on, #sqrt (5) # on järjetöntä.