Vastaus:
Ellipsi
Selitys:
Kartiot voidaan esittää kuten
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
missä #p = {x, y} # ja
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
Kartioille #m_ {12} = m_ {21} # sitten # M # ominaisarvot ovat aina todellisia, koska matriisi on symmetrinen.
Ominainen polynomi on
#p (lambda) = lambda ^ 2- (M_ {11} + M_ {22}) lambda + det (M) #
Juurista riippuen kartio voidaan luokitella
1) Equal --- ympyrä
2) Sama merkki ja erilaiset absoluuttiset arvot --- ellipsi
3) Eri merkit --- hyperbola
4) Yksi nollajuuri --- parabola
Tässä tapauksessa meillä on
#M = ((4,0), (0,8)) #
ominaista polynomia
# Lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
juurineen #{4,8}# joten meillä on ellipsi.
Ellipsi on sille kanoninen esitys
# ((X-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #
# X_0, y_0, a, b # voidaan määrittää seuraavasti
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 forall x in RR #
antaminen
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #
ratkaistaan
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #
niin
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} ekviv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #
