Mitkä ovat k: n arvot, joille int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

ja

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # mutta

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # ja

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # niin

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

tai

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

sitten lopulta

todellisia arvoja #k = {-2,2} #

monimutkaisia arvoja #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Vastaus:

# k = + - 2 #

Selitys:

Me vaadimme:

# int_2 ^ k x ^ 5 x = 0 #

Integroimalla saamme:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 väri (valkoinen) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Olettaen että #k RR: ssä (Itse asiassa #6# juuret, #4# joista monimutkaiset)

Nyt, ongelman kontekstista riippuen, voitaisiin väittää, että #K <2 # (ts # K = -2 #) on virheellinen #K> = 2 # tehdä sisäinen "oikea" siten, että tämä ratkaisu jätetään pois, mutta ilman yhteyksiä on järkevää sisällyttää molemmat ratkaisut.

Huomaa myös, että xk = + - 2 # voidaan osoittaa olevan ratkaisuja ilman todellista integrointia.

Ensinnäkin tiettyjen integraalien ominaisuus on, että:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

jotta voimme välittömästi luoda # K = 2 # on ratkaisu.

Toiseksi, # X ^ 5 # on outo ja parittomat toiminnot täyttävät:

# f (-x) = f (x) #

ja niillä on kiertosymmetria alkuperästä. sellaisenaan #F (x) # on pariton sitten:

# int_ (a) ^ a t

jotta voimme välittömästi luoda # K = -2 # on ratkaisu.

Integrointi ja myöhemmät laskelmat osoittavat kuitenkin, että nämä ovat ainoat ratkaisut!